Resolva a equação diferencial dada.
IQ-Nos Problemas 1 a 8, resolva a equação diferencial dada.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra resolver a equação diferencial
x,y' ;=;raiz1 - y^2
Isso é do curso de Equações Diferenciais, e vamos usar o método de separação de variáveis. Ou seja, precisamos saber:
  • como escrever ,
  • como “separar” de em cada lado da equação,
  • e como integrar expressões tipo e .

Passo 2

Primeiro, reescreve x,dydx = raiz1 - y^2 como dyraiz1-y^2 = dxx :
Agora a ideia é juntar tudo com de um lado e tudo com do outro. Divide pelos dois:

Passo 3

Com as variáveis separadas, integramos cada lado:
integral dyraiz1-y^2 ;=; integral dxx
Na teoria de integrais, sabemos que
integral dyraiz1-y^2 = arcsin(y) + C1 e integral dxx = lnl|xr| + C2
Juntando e absorvendo constantes, fica
arcsin(y) = ln!l|xr| + C,
onde é a constante geral.

Passo 4

Por fim, a gente “desfaz” o y = sinl(ln|x| + Cr) aplicando o nos dois lados:
E pronto, é a solução geral da equação.

Resposta

A solução geral é
boxedy(x) = sin!l(ln|x| + Cr),
com constante de integração.

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