Calcule as integrais dadas colocando-as em coordenadas polares: , onde é a região do quadrante compreendida entre os círculos e
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para calcular
onde é a região no 1º quadrante limitada pelos círculos
e também pela elipse
O que precisamos
Passar tudo para coordenadas polares: , , .
Expressar os contornos em termos de e .
Montar a integral iterada e mandar bala na conta.
Passo 2
Em coordenadas polares a gente tem
e
Logo o integrando vira
Passo 3
Precisamos agora dos limites de integração:
Ângulo vai de até (1º quadrante).
Para cada , fica entre a circunferência interna
e a circunferência externa .
(Note que a elipse em coordenadas polares é ,
mas as interseções dela com os eixos estão em e ,
de modo que, no 1º quadrante, a região “entre” a elipse e os dois círculos
corresponde exatamente a .)
Portanto a integral fica
Passo 4
Vamos calcular a parte de primeiro:
Agora a parte de integral duplaR x,y,dA = l(6094r)timesl(12r) = 6098 :