Calcule as integrais dadas colocando-as em coordenadas polares:
integralR integral x y d A, onde R é a região do 1^circ quadrante compreendida entre x^24+y^225=1 e os círculos x^2+y^2=4 e x^2+y^2=25

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para calcular
x^2 + y^2 = 4 e x^2 + y^2 = 25
onde x^24+y^225=1 é a região no 1º quadrante limitada pelos círculos
e também pela elipse
O que precisamos
  1. Passar tudo para coordenadas polares:
    , , .
  2. Expressar os contornos em termos de e .
  3. Montar a integral iterada e mandar bala na conta.

Passo 2

Em coordenadas polares a gente tem
x,y = (rcostheta)(rsintheta) = r^2costhetasintheta,
e
dA = r,dr,dtheta
Logo o integrando vira
x,y,dA = r^2costhetasintheta ,l(r,dr,dthetar) = r^3,costheta,sintheta;dr,dtheta

Passo 3

Precisamos agora dos limites de integração:
  • Ângulo integral duplaR x,y,dA =integraltheta=0^pi/2 integralr=2^5 l(r^3costhetasinthetar) ,dr,dtheta vai de até (1º quadrante).
  • Para cada , fica entre a circunferência interna
    e a circunferência externa .
(Note que a elipse em coordenadas polares é
,
mas as interseções dela com os eixos estão em e ,
de modo que, no 1º quadrante, a região “entre” a elipse e os dois círculos
corresponde exatamente a .)
Portanto a integral fica

Passo 4

Vamos calcular a parte de integralr=2^5 r^3,dr = r^44|2^5 = 5^4 - 2^44 = 625 - 164 = 6094 primeiro:
integral0^pi/2costheta,sintheta,dtheta = 12integral0^pi/2!sin(2theta),dtheta = 12l[-tfrac12cos(2theta)r]0^pi/2 = 12cdot11 = 12
Agora a parte de integral duplaR x,y,dA = l(6094r)timesl(12r) = 6098 :
Multiplicando tudo:

Resposta

boxed6098

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