Calcule as integrais dadas colocando-as em coordenadas polares:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra calcular a integral dupla
usando coordenadas polares. Isso é parte de Integrais Duplas e Mudança de Variáveis. Vamos precisar saber como transformar
em
, usar o Jacobiano e definir direito os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, lembra da transformação para coordenadas polares:
Quando a gente troca de
para
, o elemento de área
vira
. Esse fator
é o tal do Jacobiano.
Passo 3
Agora escolhemos os limites. Como
vai de
a
e
também de
a
, a região é o primeiro quadrante inteiro. Em polares isso corresponde a
E a função
vira
. Então a integral fica
Passo 4
A gente separa a integral em produto:
-
- Para
, faz a troca → , então
Passo 5
Multiplicando os dois resultados: