Calcule as integrais dadas colocando-as em coordenadas polares:
integralx=0^infty integraly=0^infty e^-(x^2+y^2) d y d x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra calcular a integral dupla
integralx=0^inftyintegraly=0^infty e^-(x^2+y^2),dy,dx
usando coordenadas polares. Isso é parte de Integrais Duplas e Mudança de Variáveis. Vamos precisar saber como transformar em , usar o Jacobiano e definir direito os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, lembra da transformação para coordenadas polares:
x = rcostheta, y = rsintheta
Quando a gente troca de para , o elemento de área vira . Esse fator é o tal do Jacobiano.

Passo 3

Agora escolhemos os limites. Como r: 0toinfty, theta: 0to pi2 vai de integraltheta=0^pi/2!!integralr=0^infty e^-r^2,r,dr,dtheta a e também de a , a região é o primeiro quadrante inteiro. Em polares isso corresponde a
E a função vira . Então a integral fica

Passo 4

A gente separa a integral em produto:
integral0^pi/2dtheta ;times; integral0^inftyr,e^-r^2,dr
  1. integral0^inftyr,e^-r^2,dr = 12integralu=0^inftye^-u,du = 12l[-e^-ur]0^infty = 12
  2. Para , faz a troca , então

Passo 5

Multiplicando os dois resultados:
pi2times 12 = pi4

Resposta

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