Integre o campo escalar phi=(r cdot V^2)^2r^2 sobre o caminho gamma dado por r(t)=t u, onde t in[a, b] e v e u são vetores constantes, não nulos.

Passo 1

Então, o que o enunciado pede? Ele manda a gente “integrar” (fazer a integral de linha) de um campo escalar
phi(vec r) = l(vec rcdot vec vr)^2|vec r|^2
ao longo do caminho
gamma: vec r(t)=t,vec u, tin[a,b],
onde e são vetores constantes não nulos.
Conteúdo envolvido:
  • Integral de linha de campo escalar: .
  • Parametrização de curva e diferencial de comprimento .
  • Produto escalar e norma .

Passo 2

Primeiro, parametrizamos tudo em função de vec r(t)cdot vec v = l(t,vec ur)cdotvec v = t,(vec ucdotvec v) .
  1. Calcula o produto escalar no numerador:
|vec r(t)|^2 = |t,vec u|^2 = t^2,|vec u|^2
  1. Calcula o quadrado da norma no denominador:
phil(vec r(t)r) = l(t,(vec ucdotvec v)r)^2t^2,|vec u|^2 = t^2,(vec ucdotvec v)^2t^2,|vec u|^2 = (vec ucdotvec v)^2|vec u|^2,
  1. Logo, o campo escalar ao longo da curva vira
ou seja, virou uma constante em .

Passo 3

Para a integral de linha de um campo escalar, usamos
integralgamma phi,ds = integrala^b phil(vec r(t)r),|vec r,'(t)|,dt
Aqui |vec r,'(t)| = |vec u| , então
integralgamma phi,ds = integrala^b l((vec ucdotvec v)^2|vec u|^2r) ;|vec u|;dt = (vec ucdotvec v)^2|vec u|^2,|vec u|, integrala^b dt = (vec ucdotvec v)^2|vec u|,(b-a)
Substituindo tudo:

Resposta

boxed integralgamma phi,ds = (vec ucdotvec v)^2|vec u|,(b-a)

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