Calcule as integrais a seguir, de forma analítica, depois pelas regras dos trapézios e 1 / 3 de Simpson, usando 4 e 6 divisões de a, b).
b) \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{1}^{4} \sqrt{x}\,dx
de duas formas: (i) analiticamente (exata) e (ii) aproximando por regras numéricas — a regra dos trapézios e a regra de Simpson 1/3 — usando n=4 e n=6 subdivisões do intervalo [a,b]=[1,4].\n
Informações dadas e que vou usar:
a=1,\qquad b=4,\qquad f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}.
Vou apresentar a solução exata e, para cada método numérico e cada n\in\{4,6\}, calcular h=(b-a)/n, os nós x_i=a+i h, os valores f(x_i) e aplicar as fórmulas das regras.

Passo 2

Cálculo analítico (exato).\n
Usamos a regra de potência para integrais: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui f(x)=x^{1/2}, então n=1/2 e a primitiva é
\int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{1/2+1}}{1/2+1}=\frac{x^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}x^{3/2}.
Avaliaremos entre a=1 e b=4:
\int_{1}^{4}\sqrt{x}\,dx=\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_{1}^{4}=\frac{2}{3}\bigl(4^{3/2}-1^{3/2}\bigr).
Calculando 4^{3/2}=(\sqrt{4})^{3}=2^{3}=8 e 1^{3/2}=1, obtemos
\int_{1}^{4}\sqrt{x}\,dx=\frac{2}{3}(8-1)=\frac{14}{3}.

Passo 3

Fórmula e explicação da regra dos trapézios.\n
Para um intervalo [a,b] dividido em n subintervalos de comprimento
h=\frac{b-a}{n},
com nós x_i=a+i h e f_i=f(x_i), a regra composta dos trapézios é
T_n=\frac{h}{2}\Bigl(f_0+2\sum_{i=1}^{n-1}f_i+f_n\Bigr).
Interpretação rápida: aproximamos f em cada subintervalo por uma reta (trapézio) e somamos as áreas.

Passo 4

Aplicação da regra dos trapézios com n=4.\n
Calcule h:
h=\frac{4-1}{4}=\frac{3}{4}=0{,}75.
Nós:
x_0=1,\; x_1=1{,}75,\; x_2=2{,}5,\; x_3=3{,}25,\; x_4=4.
Valores de f_i=\sqrt{x_i}:
f_0=\sqrt{1}=1,
f_1=\sqrt{1{,}75}=\frac{\sqrt{7}}{2}\approx1{,}3228756555,
f_2=\sqrt{2{,}5}\approx1{,}5811388301,
f_3=\sqrt{3{,}25}=\frac{\sqrt{13}}{2}\approx1{,}8027756377,
f_4=\sqrt{4}=2.
Agora aplicar a fórmula:
T_4=\frac{h}{2}\Bigl(f_0+2(f_1+f_2+f_3)+f_4\Bigr) =\frac{0{,}75}{2}\Bigl(1+2(1{,}3228756555+1{,}5811388301+1{,}8027756377)+2\Bigr).
Somando internamente:
1{,}3228756555+1{,}5811388301+1{,}8027756377=4{,}7067901233,
1+2\cdot4{,}7067901233+2=12{,}4135802467.
Multiplicando por h/2=0{,}375:
T_4\approx0{,}375\cdot12{,}4135802467\approx4{,}6550925925.

Passo 5

Aplicação da regra dos trapézios com n=6.\n
Calcule h:
h=\frac{4-1}{6}=\frac{3}{6}=0{,}5.
Nós:
x_0=1,\;x_1=1{,}5,\;x_2=2,\;x_3=2{,}5,\;x_4=3,\;x_5=3{,}5,\;x_6=4.
Valores:
f_0=1,\; f_1=\sqrt{1{,}5}\approx1{,}2247448714,\; f_2=\sqrt{2}\approx1{,}4142135624,
f_3\approx1{,}5811388301,\; f_4\approx1{,}7320508076,\; f_5\approx1{,}8708286934,\; f_6=2.
Aplicando a fórmula:
T_6=\frac{h}{2}\Bigl(f_0+2\sum_{i=1}^{5}f_i+f_6\Bigr) =\frac{0{,}5}{2}\Bigl(1+2(1{,}2247448714+1{,}4142135624+1{,}5811388301+1{,}7320508076+1{,}8708286934)+2\Bigr).
Somando internamente:
\sum_{i=1}^{5}f_i\approx7{,}8229767648,
1+2\cdot7{,}8229767648+2=18{,}6459535296.
Multiplicando por h/2=0{,}25:
T_6\approx0{,}25\cdot18{,}6459535296\approx4{,}6614883824.

Passo 6

Fórmula e explicação da regra de Simpson 1/3 composta.\n
A regra de Simpson exige n par. Com h=(b-a)/n e f_i=f(x_i), a fórmula composta é
S_n=\frac{h}{3}\Bigl(f_0+4\sum_{k=1}^{n/2}f_{2k-1}+2\sum_{k=1}^{n/2-1}f_{2k}+f_n\Bigr).
Interpretação rápida: aproxima f por polinômios quadráticos sobre pares de subintervalos; tende a ser mais precisa que trapézio para funções suaves.

Passo 7

Aplicação de Simpson 1/3 com n=4.\n
Já temos h=0{,}75 e os mesmos nós e f_i do Passo 4. Aplique:
S_4=\frac{h}{3}\Bigl(f_0+4(f_1+f_3)+2(f_2)+f_4\Bigr) =\frac{0{,}75}{3}\Bigl(1+4(1{,}3228756555+1{,}8027756377)+2(1{,}5811388301)+2\Bigr).
Calcule as somas:
f_1+f_3\approx3{,}1256512933,\quad 4(f_1+f_3)\approx12{,}5026051733,
2f_2\approx3{,}1622776602,
1+12{,}5026051733+3{,}1622776602+2=18{,}6648828335.
Multiplicando por h/3=0{,}25:
S_4\approx0{,}25\cdot18{,}6648828335\approx4{,}6662207083.

Passo 8

Aplicação de Simpson 1/3 com n=6.\n
Temos h=0{,}5 e os f_i do Passo 5. Aplique:
S_6=\frac{h}{3}\Bigl(f_0+4(f_1+f_3+f_5)+2(f_2+f_4)+f_6\Bigr).
Cálculos:
f_1+f_3+f_5\approx1{,}2247448714+1{,}5811388301+1{,}8708286934\approx4{,}6767123949,
4\cdot\text{(acima)}\approx18{,}7068495794,
f_2+f_4\approx1{,}4142135624+1{,}7320508076\approx3{,}1462643699,
2\cdot\text{(acima)}\approx6{,}2925287399,
f_0+f_6=1+2=3.
Somando tudo:
3+18{,}7068495794+6{,}2925287399\approx27{,}9993783193.
Multiplicando por h/3=\tfrac{0{,}5}{3}\approx0{,}1666666667 (ou seja dividir por 6):
S_6\approx\frac{27{,}9993783193}{6}\approx4{,}6665630532.

Resposta

Exata: \dfrac{14}{3}\n
Trapézio n=4: 4{,}6550925925\n
Trapézio n=6: 4{,}6614883824\n
Simpson n=4: 4{,}6662207083\n
Simpson n=6: 4{,}6665630532

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