A seguinte tabela relaciona calor específico da água e temperatura:
temperatura \left({ }^{\circ}\right) 20 25 30 35 40 45 50
calor espec. 0.99907 0.99852 0.99826 0.99818 0.99828 0.99849 0.99878
Resolver os itens a seguir através de um processo de interpolação quadrática:
a) o calor específico da água há 34^{\circ}

Passo 1

O enunciado pede: calcular o calor específico da água à temperatura de 34^\circ usando um processo de interpolação quadrática.\n
Informações dadas (peguei os dados na tabela do enunciado):
\begin{array}{c|ccccccc} \text{temperatura }(^\circ) & 20 & 25 & 30 & 35 & 40 & 45 & 50\\hline \text{calor espec.} & 0.99907 & 0.99852 & 0.99826 & 0.99818 & 0.99828 & 0.99849 & 0.99878 \end{array}
A única pergunta é: qual o valor do calor específico da água em 34^\circ obtido por interpolação quadrática?

Passo 2

O que é interpolação quadrática (em linguagem amiga): queremos construir um polinômio de grau 2, p(x), que passa por três pontos conhecidos (x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2). Depois avaliamos p(34).\n
Vou usar a forma de Lagrange (é direta e prática em prova). A fórmula geral é
p(x)=y_0 L_0(x)+y_1 L_1(x)+y_2 L_2(x),
onde
L_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)},\quad L_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)},\quad L_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}.
Aqui x é a temperatura onde queremos estimar o calor específico (aqui x=34), e y_i são os calores específicos conhecidos nos x_i.

Passo 3

Escolha dos três pontos: como queremos p(34), escolhi os três pontos mais próximos e consecutivos em torno de 34 da tabela: x_0=30, x_1=35, x_2=40. (Peguei os valores correspondentes na tabela.)
y_0=0.99826,\quad y_1=0.99818,\quad y_2=0.99828.

Passo 4

Escrevemos as bases de Lagrange para estes x_i. Substituindo x_0=30, x_1=35, x_2=40:
L_0(x)=\frac{(x-35)(x-40)}{(30-35)(30-40)}=\frac{(x-35)(x-40)}{(-5)(-10)}=\frac{(x-35)(x-40)}{50},
L_1(x)=\frac{(x-30)(x-40)}{(35-30)(35-40)}=\frac{(x-30)(x-40)}{5\cdot(-5)}=\frac{(x-30)(x-40)}{-25},
L_2(x)=\frac{(x-30)(x-35)}{(40-30)(40-35)}=\frac{(x-30)(x-35)}{10\cdot5}=\frac{(x-30)(x-35)}{50}.

Passo 5

Avaliar as bases em x=34. Calculos passo a passo:
L_0(34)=\frac{(34-35)(34-40)}{50}=\frac{(-1)(-6)}{50}=\frac{6}{50}=0{.}12,
L_1(34)=\frac{(34-30)(34-40)}{-25}=\frac{4\cdot(-6)}{-25}=\frac{-24}{-25}=0{.}96,
L_2(34)=\frac{(34-30)(34-35)}{50}=\frac{4\cdot(-1)}{50}=\frac{-4}{50}=-0{.}08.
Verificação rápida (importante em prova): L_0(34)+L_1(34)+L_2(34)=0{.}12+0{.}96-0{.}08=1{.}00, como deve ser.

Passo 6

Agora formamos p(34)=y_0 L_0(34)+y_1 L_1(34)+y_2 L_2(34) e calculamos com conta detalhada:
y_0 L_0(34)=0{.}99826\times 0{.}12=0{.}1197912,
y_1 L_1(34)=0{.}99818\times 0{.}96=0{.}9582528,
y_2 L_2(34)=0{.}99828\times(-0{.}08)=-0{.}0798624.
Somando:
p(34)=0{.}1197912+0{.}9582528-0{.}0798624=0{.}9981816.

Passo 7

Interpretação e arredondamento final: o valor interpolado é 0{.}9981816. Em prova normalmente reportamos com 5–6 casas decimais, compatível com os dados da tabela. Vou arredondar para 6 casas decimais:
p(34)\approx 0{.}998182.

Resposta

0{.}998182

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