Calcule as integrais a seguir, de forma analítica, depois pelas regras dos trapézios e 1 / 3 de Simpson, usando 4 e 6 divisões de a, b).
a) \int_{1}^{2} e^{x} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos disponível.\n
  • Pede-se calcular analiticamente e aproximar numericamente, pelas regras dos trapézios compostos e da regra 1/3 de Simpson composta, a integral
\int_{1}^{2} e^{x}\,dx.
  • Devemos fazer as aproximações usando n=4 divisões e n=6 divisões no intervalo [a,b]=[1,2].\n
    Informações relevantes dadas:
a=1,\qquad b=2,\qquad f(x)=e^{x}.
A resolução analítica e as fórmulas numéricas começam no próximo passo.

Passo 2

Resolução analítica (exata) da integral, com explicação didática.\n
Fórmula básica: a primitiva de e^{x} é e^{x} itself; isto é, integrar e^{x} e^{x}+C. Explico rapidamente por que: a derivada de e^{x} é e^{x}, então uma antiderivada de e^{x} é e^{x}. Para uma integral definida usamos o Teorema Fundamental do Cálculo.\n
Aplicando no intervalo [1,2]:
\int_{1}^{2} e^{x}\,dx = \left. e^{x} \right|_{1}^{2} = e^{2}-e^{1} = e^{2}-e.
Esse é o valor exato. Numericamente, usando e\approx 2,718281828459045,
e^{2}-e \approx 7,38905609893065 - 2,718281828459045 = 4,670774270471605.
Guarde isso — será a referência para comparar as aproximações.

Passo 3

Regra composta dos trapézios: apresentação da fórmula e do procedimento.\n
Regra composta dos trapézios (com n subintervalos, passo h): seja x_{i}=a+i h com h=(b-a)/n. A aproximação é
T_{n}=\frac{h}{2}\Big(f(x_{0})+2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_{i})+f(x_{n})\Big).
Intuição rápida: aproximamos a função em cada subintervalo por uma reta (trapézio) e somamos as áreas.\n
Agora aplicamos para n=4.

Passo 4

Trapézios com n=4: cálculo passo a passo.\n
Calcule h:
h=\frac{b-a}{n}=\frac{2-1}{4}=\frac{1}{4}=0,25.
Nódes:
x_{0}=1,\; x_{1}=1,25,\; x_{2}=1,5,\; x_{3}=1,75,\; x_{4}=2.
Avaliações f(x_{i})=e^{x_{i}} (valores numéricos aproximados, apresentados com várias casas para não perder precisão):
\begin{aligned} f(x_{0})&=e^{1}\approx 2,718281828459045,\\\ f(x_{1})&=e^{1,25}\approx 3,4903429574618414,\\\ f(x_{2})&=e^{1,5}\approx 4,4816890703380645,\\\ f(x_{3})&=e^{1,75}\approx 5,754602676202026,\\\ f(x_{4})&=e^{2}\approx 7,38905609893065. \end{aligned}
Aplicando a fórmula:
T_{4}=\frac{0,25}{2}\Big(f(x_{0})+2(f(x_{1})+f(x_{2})+f(x_{3}))+f(x_{4})\Big).
Somando internamente:
\begin{aligned} \sum_{i=1}^{3} f(x_{i})&=3,4903429574618414+4,4816890703380645+5,754602676202026\\\ &=13,726634704001932. \end{aligned}
Então
\begin{aligned} T_{4}&=0,125\big(2,718281828459045+2\cdot 13,726634704001932+7,38905609893065\big)\\\ &=0,125\cdot 37,56060733539356\\\ &\approx 4,695075916924195. \end{aligned}

Passo 5

Trapézios com n=6: cálculo passo a passo.\n
Calcule h:
h=\frac{2-1}{6}=\frac{1}{6}\approx 0,166666666666667.
Nódes:
x_{0}=1,\; x_{1}=1+\tfrac{1}{6}=1,\overline{16},\; x_{2}=1,\overline{33},\; x_{3}=1,5,\; x_{4}=1,\overline{66},\; x_{5}=1,\overline{83},\; x_{6}=2.
Para diminuir trabalho usamos a fatoração e^{1+k/6}=e\cdot e^{k/6} e valores de e^{k/6} (obtidos por séries/exponenciação). Avaliações (aproximações):
\begin{aligned} f(x_{0})&=e^{1}\approx 2,718281828459045,\\\ f(x_{1})&=e^{7/6}=e\cdot e^{1/6}\approx 3,211270459030752,\\\ f(x_{2})&=e^{4/3}=e\cdot e^{1/3}\approx 3,793667893660,\\\ f(x_{3})&=e^{1,5}\approx 4,4816890703380645,\\\ f(x_{4})&=e^{5/3}=e\cdot e^{2/3}\approx 5,297159856,\\\ f(x_{5})&=e^{11/6}=e^{2}/e^{1/6}\approx 6,255030,\\ (\text{aprox.}),\\\ f(x_{6})&=e^{2}\approx 7,38905609893065. \end{aligned}
(Obs.: usei e^{5/6}=e/e^{1/6} e e^{11/6}=e^{2}/e^{1/6} para obter f(x_{5}) e f(x_{1}) com coerência.)\n
Agora a soma:
\sum_{i=1}^{5} f(x_{i})\approx 3,211270459030752+3,79366789366+4,4816890703380645+5,297159856+6,25503\approx 23,038817279.
Aplicando a fórmula:
T_{6}=\frac{h}{2}\Big(f(x_{0})+2\sum_{i=1}^{5} f(x_{i})+f(x_{6})\Big)=\frac{1/6}{2}\cdot\big(\cdots\big)=\frac{1}{12}\big(\cdots\big).
Calculando:
\begin{aligned} f(x_{0})+2\sum_{i=1}^{5} f(x_{i})+f(x_{6})&\approx 2,718281828459045+2\cdot 23,038817279+7,38905609893065\\\ &\approx 56,18497248544733, \end{aligned}
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T_{6}\approx \frac{1}{12}\cdot 56,18497248544733\approx 4,682081040453944.
(Arredondei as avaliações intermédias; o procedimento está explícito — em prova procure calcular as potências e^{k/6} com precisão suficiente.)

Passo 6

Regra composta 1/3 de Simpson: fórmula e explicação.\n
Fórmula composta de Simpson (requere n par):
S_{n}=\frac{h}{3}\Big(f(x_{0})+4\sum_{\substack{i=1\\\ i\\ \text{ímpar}}}^{n-1} f(x_{i})+2\sum_{\substack{i=2\\\ i\\ \text{par}}}^{n-2} f(x_{i})+f(x_{n})\Big).í
Intuição: aproximamos a função em pares de subintervalos por polinômios quadráticos (parábolas), que geralmente dão maior precisão que trapézios para funções suaves como e^{x}.

Passo 7

Simpson com n=4: cálculo passo a passo (usa os mesmos \,f(x_{i})\, do caso n=4 já calculados).\n
Aqui h=0,25 e
S_{4}=\frac{0,25}{3}\big(f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+4f(x_{3})+f(x_{4})\big).
Substituindo os valores:
\begin{aligned} \text{interior}&=2,718281828459045+4\cdot 3,4903429574618414+2\cdot 4,4816890703380645\\\ &\qquad +4\cdot 5,754602676202026+7,38905609893065\\\ &=56,0504986027213. \end{aligned}
Então
S_{4}=\frac{0,25}{3}\cdot 56,0504986027213=0,08333333333333333\cdot 56,0504986027213\approx 4,670874883560109.

Passo 8

Simpson com n=6: cálculo passo a passo (usa os f(x_{i}) do caso n=6).\n
Aqui h=\tfrac{1}{6}, então h/3=\tfrac{1}{18}\approx 0,05555555555555555. A fórmula dá
S_{6}=\frac{1}{18}\Big(f(x_{0})+4\big(f(x_{1})+f(x_{3})+f(x_{5})\big)+2\big(f(x_{2})+f(x_{4})\big)+f(x_{6})\Big).
Usando as avaliações aproximadas do Passo 5:
\begin{aligned} f(x_{1})+f(x_{3})+f(x_{5})&\approx 3,211270459030752+4,4816890703380645+6,255030\\\ &\approx 13,947989529368817,\\\ f(x_{2})+f(x_{4})&\approx 3,79366789366+5,297159856\approx 9,09082774966. \end{aligned}
Então a soma interior:
\begin{aligned} &f(x_{0})+4(\cdots)+2(\cdots)+f(x_{6})\\\ &\approx 2,718281828459045 +4\cdot 13,947989529368817 +2\cdot 9,09082774966 +7,38905609893065\\\ &\approx 84,08095154286496. \end{aligned}
Multiplicando por 1/18:
S_{6}\approx \frac{1}{18}\cdot 84,08095154286496 \approx 4,67116397460361.

Passo 9

Interpretação rápida dos resultados e indicação de erros (para motivar confiança). \n
  • Valor exato: e^{2}-e\approx 4,670774270471605. Esse é o alvo.\n
  • Aproximações obtidas:
    • Trapézios n=4: T_{4}\approx 4,695075916924195 (superestimação, erro aproximadamente +0,0243).\n
    • Trapézios n=6: T_{6}\approx 4,682081040453944 (a aproximação melhorou em relação a n=4).\n
    • Simpson n=4: S_{4}\approx 4,670874883560109 (já muito perto; erro aproximadamente +0,0001006).\n
    • Simpson n=6: S_{6}\approx 4,67116397460361 (também muito preciso; aqui arredondamentos nas avaliações intermediárias podem influenciar uma pequena diferença entre S_{4} e S_{6}).\n
      Dica de prova: para funções suaves como e^{x}, Simpson costuma convergir muito rápido, então com n=4 já se obtém uma aproximação muito boa; se precisar de maior precisão sem muita conta, escolha Simpson com um n par pequeno (4 ou 6) e calcule e^{x_{i}} com boa precisão.

Resposta

\displaystyle \int_{1}^{2} e^{x}\,dx = e^{2}-e \approx 4,670774270471605\n
T_{4}\approx 4,695075916924195\n
T_{6}\approx 4,682081040453944\n
S_{4}\approx 4,670874883560109\n
S_{6}\approx 4,67116397460361

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