Calcule as integrais a seguir, de forma analítica, depois pelas regras dos trapézios e 1 / 3 de Simpson, usando 4 e 6 divisões de a, b).
a) \int_{1}^{2} e^{x} d x
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos disponível.\n
Pede-se calcular analiticamente e aproximar numericamente, pelas regras dos trapézios compostos e da regra 1/3 de Simpson composta, a integral
\int_{1}^{2} e^{x}\,dx.
Devemos fazer as aproximações usando n=4 divisões e n=6 divisões no intervalo [a,b]=[1,2].\n
Informações relevantes dadas:
a=1,\qquad b=2,\qquad f(x)=e^{x}.
A resolução analítica e as fórmulas numéricas começam no próximo passo.
Passo 2
Resolução analítica (exata) da integral, com explicação didática.\n
Fórmula básica: a primitiva de e^{x} é e^{x} itself; isto é, integrar e^{x} dá e^{x}+C. Explico rapidamente por que: a derivada de e^{x} é e^{x}, então uma antiderivada de e^{x} é e^{x}. Para uma integral definida usamos o Teorema Fundamental do Cálculo.\n
Aplicando no intervalo [1,2]:
Guarde isso — será a referência para comparar as aproximações.
Passo 3
Regra composta dos trapézios: apresentação da fórmula e do procedimento.\n
Regra composta dos trapézios (com n subintervalos, passo h): seja x_{i}=a+i h com h=(b-a)/n. A aproximação é
Intuição: aproximamos a função em pares de subintervalos por polinômios quadráticos (parábolas), que geralmente dão maior precisão que trapézios para funções suaves como e^{x}.
Passo 7
Simpson com n=4: cálculo passo a passo (usa os mesmos \,f(x_{i})\, do caso n=4 já calculados).\n
Aqui h=0,25 e
Simpson com n=6: cálculo passo a passo (usa os f(x_{i}) do caso n=6).\n
Aqui h=\tfrac{1}{6}, então h/3=\tfrac{1}{18}\approx 0,05555555555555555. A fórmula dá
Interpretação rápida dos resultados e indicação de erros (para motivar confiança). \n
Valor exato: e^{2}-e\approx 4,670774270471605. Esse é o alvo.\n
Aproximações obtidas:
Trapézios n=4: T_{4}\approx 4,695075916924195 (superestimação, erro aproximadamente +0,0243).\n
Trapézios n=6: T_{6}\approx 4,682081040453944 (a aproximação melhorou em relação a n=4).\n
Simpson n=4: S_{4}\approx 4,670874883560109 (já muito perto; erro aproximadamente +0,0001006).\n
Simpson n=6: S_{6}\approx 4,67116397460361 (também muito preciso; aqui arredondamentos nas avaliações intermediárias podem influenciar uma pequena diferença entre S_{4} e S_{6}).\n
Dica de prova: para funções suaves como e^{x}, Simpson costuma convergir muito rápido, então com n=4 já se obtém uma aproximação muito boa; se precisar de maior precisão sem muita conta, escolha Simpson com um n par pequeno (4 ou 6) e calcule e^{x_{i}} com boa precisão.