Encontre o polinômio de Taylor linear e quadrático em torno do ponto
para a seguinte função:
Passo 1
O enunciado pede os polinômios de Taylor de ordem 1 (linear) e ordem 2 (quadrático) em torno do ponto
para a função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
As perguntas são: qual é o polinômio de Taylor linear (grau 1) de
em torno de
e qual é o polinômio de Taylor quadrático (grau 2) de
em torno de
.
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula geral do polinômio de Taylor de grau
centrado em
. Se
é
-vezes diferenciável em
, então
Explicando cada símbolo:
-
é a -ésima derivada de avaliada em . Para tomamos . -
é o fatorial de (por ex., , ). -
é o termo de ordem na expansão, dá a dependência em centrada em .
O polinômio de Taylor linear é(usar ) e o quadrático é (usar ).
Passo 3
Calculemos as derivadas necessárias de
usando a regra da potência: se
então
.
- A função:
- Primeira derivada (aplicando a regra da potência com
):
- Segunda derivada (derivar
usando a regra da potência de novo):
Mostrei cada passo: aplicamos a regra
sucessivamente.
Passo 4
Avaliar as derivadas no ponto
:
Portanto temos os coeficientes numéricos que entram na fórmula de Taylor.
Passo 5
Construção do polinômio de Taylor linear (
). Pela fórmula com
:
Substituindo os valores:
Podemos também escrever em forma expandida:
Interpretação rápida:
é a reta tangente a
em
; é a aproximação linear de
perto de
.
Passo 6
Construção do polinômio de Taylor quadrático (
). Pela fórmula com
:
Substituindo os valores:
Forma expandida (opcional, só para ver como fica em potências de
):
Calculemos a expansão: . Somando com
obtemos
Calculemos a expansão:
Passo 7
Exemplo prático rápido para você sentir como usar: aproximar
(ou seja
).
- Com
: , então
- Com
: , então
A raiz exata é
. Repare que
ficou bem mais próximo do valor exato que
, o que mostra vantagem do termo quadrático.