Encontre o polinômio de Taylor linear e quadrático em torno do ponto a para a seguinte função:
f(x)=\sqrt{x}, a=1

Passo 1

O enunciado pede os polinômios de Taylor de ordem 1 (linear) e ordem 2 (quadrático) em torno do ponto a=1 para a função f(x)=\sqrt{x}.
Informações dadas:
f(x)=\sqrt{x},\qquad a=1.
As perguntas são: qual é o polinômio de Taylor linear (grau 1) de f em torno de a e qual é o polinômio de Taylor quadrático (grau 2) de f em torno de a.

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula geral do polinômio de Taylor de grau n centrado em a. Se f é n-vezes diferenciável em a, então
T_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.
Explicando cada símbolo:
  • f^{(k)}(a) é a k-ésima derivada de f avaliada em x=a. Para k=0 tomamos f^{(0)}(a)=f(a).
  • k! é o fatorial de k (por ex., 2!=2, 3!=6).
  • (x-a)^k é o termo de ordem k na expansão, dá a dependência em x centrada em a.
    O polinômio de Taylor linear é T_1(x) (usar k=0,1) e o quadrático é T_2(x) (usar k=0,1,2).

Passo 3

Calculemos as derivadas necessárias de f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2} usando a regra da potência: se g(x)=x^m então g'(x)=m x^{m-1}.
  • A função:
f(x)=x^{1/2}.
  • Primeira derivada (aplicando a regra da potência com m=\tfrac{1}{2}):
f'(x)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
  • Segunda derivada (derivar f'(x)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2} usando a regra da potência de novo):
f''(x)=\tfrac{1}{2}\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)x^{-3/2}=-\tfrac{1}{4}x^{-3/2}=-\frac{1}{4}x^{-3/2}.
Mostrei cada passo: aplicamos a regra d(x^m)/dx = m x^{m-1} sucessivamente.

Passo 4

Avaliar as derivadas no ponto a=1:
f(1)=1^{1/2}=1,
f'(1)=\tfrac{1}{2}\cdot 1^{-1/2}=\tfrac{1}{2},
f''(1)=-\tfrac{1}{4}\cdot 1^{-3/2}=-\tfrac{1}{4}.
Portanto temos os coeficientes numéricos que entram na fórmula de Taylor.

Passo 5

Construção do polinômio de Taylor linear ( T_1). Pela fórmula com n=1:
T_1(x)=f(1)+f'(1)(x-1).
Substituindo os valores:
T_1(x)=1+\tfrac{1}{2}(x-1).
Podemos também escrever em forma expandida:
T_1(x)=\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{2}.
Interpretação rápida: T_1 é a reta tangente a f em x=1; é a aproximação linear de \sqrt{x} perto de 1.

Passo 6

Construção do polinômio de Taylor quadrático ( T_2). Pela fórmula com n=2:
T_2(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+\frac{f''(1)}{2}(x-1)^2.
Substituindo os valores:
T_2(x)=1+\tfrac{1}{2}(x-1)+\frac{-\tfrac{1}{4}}{2}(x-1)^2 =1+\tfrac{1}{2}(x-1)-\tfrac{1}{8}(x-1)^2.
Forma expandida (opcional, só para ver como fica em potências de x):
Calculemos a expansão: -\tfrac{1}{8}(x-1)^2 = -\tfrac{1}{8}(x^2-2x+1) = -\tfrac{1}{8}x^2+\tfrac{1}{4}x-\tfrac{1}{8}. Somando com 1+\tfrac{1}{2}(x-1)=\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{2} obtemos
T_2(x)=-\tfrac{1}{8}x^2+\tfrac{3}{4}x+\tfrac{3}{8}.

Passo 7

Exemplo prático rápido para você sentir como usar: aproximar \sqrt{1,21} (ou seja x=1,21).
  • Com T_1: (x-1)=0,21, então
T_1(1,21)=1+\tfrac{1}{2}\cdot 0,21=1+0,105=1,105.
  • Com T_2: (x-1)^2=0,21^2=0,0441, então
T_2(1,21)=1+0,105-\tfrac{1}{8}\cdot 0,0441\approx 1+0,105-0,0055125=1,0994875\approx 1,09949.
A raiz exata é \sqrt{1,21}=1,1. Repare que T_2 ficou bem mais próximo do valor exato que T_1, o que mostra vantagem do termo quadrático.

Resposta

T_1(x)=1+\tfrac{1}{2}(x-1)=\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{2}
T_2(x)=1+\tfrac{1}{2}(x-1)-\tfrac{1}{8}(x-1)^2=-\tfrac{1}{8}x^2+\tfrac{3}{4}x+\tfrac{3}{8}

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