Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e pela regra 13 Simpson, usando quatro divisões de [a, b] e compare os resultados:
integral2^14 1raizx d x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente aproximar a integral
integral2^14 1raizx,dx
usando a regra dos trapézios e a regra 1/3 de Simpson com Tn = h2l(f(x0) + 2sumi=1^n-1f(xi) + f(xn)r) subdivisões.
Conteúdo: integração numérica.
O que vamos precisar:
  • A definição de Sn = h3l(f(x0) + 4sumsubstacki=1i ímpar^n-1f(xi) + 2sumsubstacki=2i par^n-2f(xi) + f(xn)r) .
  • A fórmula da regra dos trapézios:
  • A fórmula da regra 1/3 de Simpson (com par): í
  • Calcular , e aplicar as fórmulas passo a passo.

Passo 2

Primeiro achamos o passo
h = b-an = 14-24 = 3
Então os nós são
x0=2,; x1=5,; x2=8,; x3=11,; x4=14
E os valores de f(x0)&=f(2) = tfrac1raiz2 approx 0,7071068, f(x1)&=f(5) = tfrac1raiz5 approx 0,4472136, f(x2]&=f(8) = tfrac1raiz8 approx 0,3535534, f(x3]&=f(11) = tfrac1raiz11approx 0,3015113, f(x4]&=f(14) = tfrac1raiz14approx 0,2672612 :

Passo 3

Agora a regra dos trapézios:
T4 = h2l(f0 + 2(f1+f2+f3) + f4r)
Substituindo:
sumi=1^3 fi &= 0,4472136 + 0,3535534 + 0,3015113 = 1,1022783, T4 &= 32l(0,7071068 + 2cdot1,1022783 + 0,2672612r) &= 1,5,(0,7071068 + 2,2045566 + 0,2672612) &= 1,5 times 3,1789246 approx 4,768387

Passo 4

Agora a regra 1/3 de Simpson:
S4 = h3l(f0 + 4(f1+f3) + 2,f2 + f4r)
Substituindo:
f1+f3 &= 0,4472136 + 0,3015113 = 0,7487249, S4 &= 1;(0,7071068 + 4cdot0,7487249 + 2cdot0,3535534 + 0,2672612) &= 0,7071068 + 2,9948996 + 0,7071068 + 0,2672612 &approx 4,676374

Passo 5

A integral exata é
integral2^14 x^-tfrac12,dx = 2raizx|2^14 = 2(raiz14-raiz2) approx 4,654888
Comparando:
  • Trapézios (erro ≈0,1135),
  • Simpson (erro ≈0,0215).
    Simpson ficou bem mais próximo do valor exato.

Resposta

Integral por trapézios: .
Integral por Simpson 1/3: .
O valor exato é , logo Simpson dá resultado mais preciso.

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