Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e pela regra 13 Simpson, usando quatro divisões de [a, b] e compare os resultados:
integral1^4 raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral1^4 raizx , dx usando duas técnicas de aproximação: a regra dos trapézios e a regra 13 de Simpson. Para isso, vamos dividir o intervalo de 1 a 4 em quatro partes iguais. Isso ajuda a estimar o valor da integral quando não conseguimos calcular de forma exata.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a regra dos trapézios. Essa regra aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo em trapézios e somando suas áreas. Com quatro divisões, teremos cinco pontos: x0 = 1, x1 = 2, x2 = 3, x3 = 4. O espaçamento entre os pontos ( h) é (4-1)/4 = 0.75.

Passo 3

Calculamos os valores da função raizx nesses pontos:
f(1) = 1, f(2) = raiz2, f(3) = raiz3, f(4) = 2
Aplicando a regra dos trapézios:
Integral approx h2 [f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + f(x3)]
Substituindo os valores:
Integral approx 0.752 [1 + 2raiz2 + 2raiz3 + 2]
Calculando:
Integral approx 0.375 times (3 + 2raiz2 + 2raiz3) approx 0.375 times (3 + 2.828 + 3.464) approx 0.375 times 9.292 approx 3.473

Passo 4

Agora, vamos para a regra 13 de Simpson. Essa regra também divide o intervalo em partes, mas utiliza uma combinação ponderada dos valores da função para uma melhor aproximação. Com quatro divisões (n=4, que é par, o que é necessário), usamos a fórmula:
Integral approx h3 [f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + f(x4)]
Onde x4 = 4.75, mas como nosso intervalo é de 1 a 4, ajustamos para os pontos corretos.

Passo 5

Corrigindo os pontos para quatro divisões de 1 a 4:
x0 = 1, x1 = 1.75, x2 = 2.5, x3 = 3.25, x4 = 4
Calculamos os valores da função:
f(1) = 1, f(1.75) approx 1.3229, f(2.5) approx 1.5811, f(3.25) approx 1.8028, f(4) = 2
Aplicando a regra de Simpson:
Integral approx 0.753 [1 + 4(1.3229) + 2(1.5811) + 4(1.8028) + 2]
Calculando:
Integral approx 0.25 times [1 + 5.2916 + 3.1622 + 7.2112 + 2] approx 0.25 times 18.664 approx 4.666

Resposta

Usando a regra dos trapézios com quatro divisões, a aproximação da integral é aproximadamente 3.473. Já com a regra 13 de Simpson, a aproximação é aproximadamente 4.666. A regra de Simpson forneceu um valor maior comparado à regra dos trapézios.

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