Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e pela regra
Simpson, usando quatro divisões de
e compare os resultados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando duas técnicas de aproximação: a regra dos trapézios e a regra
de Simpson. Para isso, vamos dividir o intervalo de
a
em quatro partes iguais. Isso ajuda a estimar o valor da integral quando não conseguimos calcular de forma exata.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a regra dos trapézios. Essa regra aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo em trapézios e somando suas áreas. Com quatro divisões, teremos cinco pontos:
,
,
,
. O espaçamento entre os pontos (
) é
.
Passo 3
Calculamos os valores da função
nesses pontos:
Aplicando a regra dos trapézios:
Substituindo os valores:
Calculando:
Passo 4
Agora, vamos para a regra
de Simpson. Essa regra também divide o intervalo em partes, mas utiliza uma combinação ponderada dos valores da função para uma melhor aproximação. Com quatro divisões (n=4, que é par, o que é necessário), usamos a fórmula:
Onde
, mas como nosso intervalo é de 1 a 4, ajustamos para os pontos corretos.
Passo 5
Corrigindo os pontos para quatro divisões de
a
:
Calculamos os valores da função:
Aplicando a regra de Simpson:
Calculando:
Resposta
Usando a regra dos trapézios com quatro divisões, a aproximação da integral é aproximadamente
. Já com a regra
de Simpson, a aproximação é aproximadamente
. A regra de Simpson forneceu um valor maior comparado à regra dos trapézios.