Para quais valores de x a expressão V=sin x-cos x apresentará cancelamento catastrófico ?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. A expressão é

e a gente precisa descobrir para quais valores de essa subtração vai sofrer “cancelamento catastrófico” — ou seja, quando e ficam tão iguais que, na prática de ponto flutuante, o resultado da diferença perde precisão.
Conteúdo: análise de cancelamento catastrófico e trigonometria básica (igualdade de seno e cosseno).

Passo 2

Antes de mais nada, o que é cancelamento catastrófico?
Quando você subtrai dois números quase iguais, o dígito mais significativo “cancela” e sobra só a diferença, que é muito menor. Em computação, isso faz a gente perder muitos dígitos de precisão. Logo, para achar onde sofre isso, precisamos ver quando e são iguais (ou muito próximas).

Passo 3

Então vamos resolver a igualdade
sin x = cos x
Passo a passo:
  1. Se x = pi4 + kpi, kinZ , podemos dividir ambos os lados por .
  2. Isso dá .
  3. A função tangente é exatamente quando seu ângulo é mais múltiplos de , porque .
Logo

Passo 4

Então sempre que estiver nessa família de valores, e são iguais e a subtração vira zero — ali bem que pode haver aproximações numéricas que resultem em algo minúsculo, gerando cancelamento.

Resposta

Os valores de V = sin x - cos x que causam cancelamento catastrófico em
boxedx = pi4 + kpi, kinZ
são

Exercícios relacionados