Para quais valores de
a expressão
apresentará cancelamento catastrófico ?
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. A expressão é
e a gente precisa descobrir para quais valores de essa subtração vai sofrer “cancelamento catastrófico” — ou seja, quando
e
ficam tão iguais que, na prática de ponto flutuante, o resultado da diferença perde precisão.
Conteúdo: análise de cancelamento catastrófico e trigonometria básica (igualdade de seno e cosseno).
e a gente precisa descobrir para quais valores de
Conteúdo: análise de cancelamento catastrófico e trigonometria básica (igualdade de seno e cosseno).
Passo 2
Antes de mais nada, o que é cancelamento catastrófico?
Quando você subtrai dois números quase iguais, o dígito mais significativo “cancela” e sobra só a diferença, que é muito menor. Em computação, isso faz a gente perder muitos dígitos de precisão. Logo, para achar onde sofre isso, precisamos ver quando
e
são iguais (ou muito próximas).
Quando você subtrai dois números quase iguais, o dígito mais significativo “cancela” e sobra só a diferença, que é muito menor. Em computação, isso faz a gente perder muitos dígitos de precisão. Logo, para achar onde
Passo 3
Então vamos resolver a igualdade
Passo a passo:
- Se
, podemos dividir ambos os lados por . - Isso dá
. - A função tangente é
exatamente quando seu ângulo é mais múltiplos de , porque .
Logo
Passo 4
Então sempre que
estiver nessa família de valores,
e
são iguais e a subtração vira zero — ali bem que pode haver aproximações numéricas que resultem em algo minúsculo, gerando cancelamento.
Resposta
Os valores de
que causam cancelamento catastrófico em
são