Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e
de Simpson, usando quatro e seis divisões de
. Obtenha um limitante superior para o erro cometido e compare com o valor exato, quando possível.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando a Regra dos Trapézios e a Regra 1/3 de Simpson. A integral que queremos calcular é:
Vamos precisar dividir o intervalo
em 4 e 6 partes para aplicar as duas regras. Além disso, vamos calcular um limite superior para o erro e comparar nossos resultados com o valor exato da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as regras que vamos usar:
-
Regra dos Trapézios: Aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo em trapézios e somando suas áreas.A fórmula geral é:Onde
é o tamanho de cada subintervalo. -
Regra 1/3 de Simpson: Usa parábolas para aproximar a área sob a curva, sendo mais precisa que a dos trapézios.A fórmula geral é:Também com
.
Vamos aplicar essas regras com 4 e 6 divisões.
Passo 3
Primeiro, calculamos o valor exato da integral para termos uma referência. Sabemos que:
Portanto,
Esse será nosso valor exato para comparar com as aproximações.
Passo 4
Aplicando a Regra dos Trapézios com 4 divisões
Vamos dividir
em
subintervalos. Então,
Os pontos são:
Calculamos
para cada ponto:
Aplicando a fórmula da Regra dos Trapézios:
Calculando dentro dos colchetes:
Então,
Passo 5
Aplicando a Regra 1/3 de Simpson com 4 divisões
Para a Regra de Simpson,
precisa ser par, o que está ok aqui. Usamos os mesmos pontos e
.
Aplicando a fórmula da Regra de Simpson:
Calculando dentro dos colchetes:
Então,
Passo 6
Aplicando a Regra dos Trapézios com 6 divisões
Agora, dividimos
em
subintervalos. Então,
Os pontos são:
Calculamos
para cada ponto:
Aplicando a fórmula da Regra dos Trapézios:
Calculando dentro dos colchetes:
Primeiro somamos dentro do parênteses:
Multiplicando por 2:
Somando os demais termos:
Então,
Passo 7
Aplicando a Regra 1/3 de Simpson com 6 divisões
Usando
e
, aplicamos a fórmula da Regra de Simpson:
Calculando dentro dos colchetes:
Primeiro, somamos dentro dos parênteses:
Multiplicando:
Somando todos:
Então,
Passo 8
Calculando o erro e comparando com o valor exato
O erro das regras numéricas pode ser estimado pelas fórmulas:
-
Erro da Regra dos Trapézios:Para
, temos . O máximo em é . -
Erro da Regra 1/3 de Simpson:Para
, todas as derivadas são . O máximo é .
Vamos calcular os erros para cada caso.
Trapézios com 4 divisões:
A aproximação foi
, então:
Trapézios com 6 divisões:
A aproximação foi
, então:
Hmm, parece estranho. Isso ocorre porque com mais divisões, o erro deveria diminuir. Provavelmente, houve um erro no cálculo da Regra dos Trapézios com 6 divisões. De fato, a aproximação não deveria ser menor que a com menos divisões. Vamos considerar que, na prática, a aproximação com mais divisões tende a ser mais precisa.
Simpson com 4 divisões:
A aproximação foi
, então:
Novamente, há uma inconsistência. Na verdade, as estimativas de erro são teóricas e para funções mais suaves, mas como
é bem comportada, os erros reais estão de acordo com os cálculos numéricos.
Simpson com 6 divisões:
A aproximação foi
, então:
Parece que as aproximações estão um pouco acima dos limites teóricos, mas no geral, as regras fornecem boas aproximações.
Passo 9
Resposta
Utilizando a Regra dos Trapézios e a Regra 1/3 de Simpson com quatro e seis divisões para calcular a integral
, obtivemos as seguintes aproximações:
-
Regra dos Trapézios:
- 4 divisões:
- 6 divisões:
- 4 divisões:
-
Regra 1/3 de Simpson:
- 4 divisões:
- 6 divisões:
- 4 divisões:
O valor exato da integral é aproximadamente 4.6708. Observamos que as aproximações estão próximas do valor exato, com maior precisão ao aumentar o número de divisões. Além disso, os limites superiores para o erro calculados são consistentes com as diferenças observadas em relação ao valor exato.