Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e
de Simpson, usando quatro e seis divisões de
. Obtenha um limitante superior para o erro cometido e compare com o valor exato, quando possível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral
usando dois métodos numéricos: a regra dos trapézios e a regra de Simpson 1/3. Vamos fazer isso com 4 e 6 subdivisões no intervalo
. Além disso, vamos encontrar um limite superior para o erro cometido e comparar com o valor exato da integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam essas regras de aproximação e aplicar algumas fórmulas matemáticas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral usando a regra dos trapézios com 4 subdivisões. A regra dos trapézios aproxima a integral dividindo a área sob a curva em trapézios em vez de retângulos. A fórmula geral é:
Onde
é o tamanho de cada subdivisão.
No nosso caso:
Vamos calcular os pontos:
Agora, calculamos
para cada
:
Aplicando na fórmula:
Passo 3
Agora vamos usar a regra dos trapézios com 6 subdivisões. Seguindo os mesmos passos:
Pontos:
Valores de
:
Aplicando na fórmula:
Passo 4
Vamos agora à regra de Simpson 1/3 com 4 subdivisões. A regra de Simpson é mais precisa e usa parábolas para aproximar a área. A fórmula é:
Para
,
, e os mesmos pontos e valores de
do Passo 2.
Aplicando na fórmula:
Passo 5
Agora, a regra de Simpson 1/3 com 6 subdivisões. Porém, é importante lembrar que para aplicar a regra de Simpson, o número de subdivisões
deve ser par, o que neste caso é verdade (
).
A fórmula adaptada para 6 subdivisões é:
Com
, e os pontos e valores de
do Passo 3.
Aplicando na fórmula:
Passo 6
Vamos agora estimar o erro cometido em cada aproximação. Para isso, usamos as seguintes fórmulas de erro:
- Erro da regra dos trapézios:
- Erro da regra de Simpson 1/3:
Primeiro, calculamos a segunda derivada de
:
O valor máximo de
no intervalo
ocorre em
:
Agora, aplicando na fórmula do erro dos trapézios para
e
:
Para
:
Para
:
Já para o erro da regra de Simpson, precisaríamos da quarta derivada de
, que para
é:
O máximo no intervalo é em
:
Aplicando na fórmula do erro de Simpson para
e
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Vamos agora calcular o valor exato da integral para comparar com as aproximações.
Calculando entre 2 e 14:
Passo 8
Vamos comparar as aproximações com o valor exato:
- Regra dos Trapézios com 4 subdivisões:
com erro estimado - Regra dos Trapézios com 6 subdivisões:
com erro estimado - Regra de Simpson 1/3 com 4 subdivisões:
com erro estimado - Regra de Simpson 1/3 com 6 subdivisões:
com erro estimado - Valor exato:
Como vemos, todas as aproximações estão bem próximas do valor exato
. Quanto mais subdivisões usamos, mais próximo o resultado fica do valor real, e o erro diminui, mostrando que os métodos estão funcionando direitinho!
Resposta
Através dos cálculos, as aproximações obtidas foram:
-
Regra dos Trapézios:
- 4 subdivisões:
- 6 subdivisões:
- 4 subdivisões:
-
Regra de Simpson 1/3:
- 4 subdivisões:
- 6 subdivisões:
- 4 subdivisões:
O valor exato da integral é aproximadamente
. As aproximações aumentam sua precisão conforme aumentamos o número de subdivisões, confirmando a eficácia dos métodos utilizados.