Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e 1 / 3 de Simpson, usando quatro e seis divisões de [a, b]. Obtenha um limitante superior para o erro cometido e compare com o valor exato, quando possível.
integral2^14 1raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral usando dois métodos numéricos: a regra dos trapézios e a regra de Simpson 1/3. Vamos fazer isso com 4 e 6 subdivisões no intervalo . Além disso, vamos encontrar um limite superior para o erro cometido e comparar com o valor exato da integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam essas regras de aproximação e aplicar algumas fórmulas matemáticas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral usando a regra dos trapézios com 4 subdivisões. A regra dos trapézios aproxima a integral dividindo a área sob a curva em trapézios em vez de retângulos. A fórmula geral é:
Trapézios = h2 [ f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + dots + 2f(xn-1) + f(xn) ] é
Onde x0 = 2, x1 = 5, x2 = 8, x3 = 11, x4 = 14 é o tamanho de cada subdivisão.
No nosso caso:
  • f(x) = 1raizx
  • f(2) = 1raiz2 approx 0.7071
  • f(5) = 1raiz5 approx 0.4472
  • f(8) = 1raiz8 approx 0.3536
Vamos calcular os pontos:
f(11) = 1raiz11 approx 0.3015
Agora, calculamos f(14) = 1raiz14 approx 0.2673 para cada Trapézios = 32 [ 0.7071 + 2(0.4472 + 0.3536 + 0.3015) + 0.2673 ] :
= 32 [ 0.7071 + 2(1.1023) + 0.2673 ]
= 32 [ 0.7071 + 2.2046 + 0.2673 ]
= 32 times 3.1789 approx 4.7684
Aplicando na fórmula:
é

Passo 3

Agora vamos usar a regra dos trapézios com 6 subdivisões. Seguindo os mesmos passos:
  • x0 = 2, x1 = 4, x2 = 6, x3 = 8, x4 = 10, x5 = 12, x6 = 14
  • f(2) = 0.7071, f(4) = 0.5, f(6) approx 0.4082, f(8) approx 0.3536
Pontos:
f(10) approx 0.3162, f(12) approx 0.2887, f(14) approx 0.2673
Valores de Trapézios = 22 [ 0.7071 + 2(0.5 + 0.4082 + 0.3536 + 0.3162 + 0.2887) + 0.2673 ] :
= 1 times [ 0.7071 + 2(1.8667) + 0.2673 ]
= 1 times [ 0.7071 + 3.7334 + 0.2673 ]
Aplicando na fórmula:
= 4.7071 é

Passo 4

Vamos agora à regra de Simpson 1/3 com 4 subdivisões. A regra de Simpson é mais precisa e usa parábolas para aproximar a área. A fórmula é:
Simpson = h3 [ f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + f(x4) ]
Para Simpson = 33 [ 0.7071 + 4(0.4472) + 2(0.3536) + 4(0.3015) + 0.2673 ] , = 1 times [ 0.7071 + 1.7888 + 0.7072 + 1.206 + 0.2673 ] , e os mesmos pontos e valores de = 1 times 4.6764 approx 4.6764 do Passo 2.
Aplicando na fórmula:

Passo 5

Agora, a regra de Simpson 1/3 com 6 subdivisões. Porém, é importante lembrar que para aplicar a regra de Simpson, o número de subdivisões Simpson = h3 [ f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + 2f(x4) + 4f(x5) + f(x6) ] deve ser par, o que neste caso é verdade ( Simpson = 23 [ 0.7071 + 4(0.5) + 2(0.4082) + 4(0.3536) + 2(0.3162) + 4(0.2887) + 0.2673 ] ).
A fórmula adaptada para 6 subdivisões é:
= 23 [ 0.7071 + 2 + 0.8164 + 1.4144 + 0.6324 + 1.1548 + 0.2673 ]
Com = 23 times 6.9919 approx 4.6613 , e os pontos e valores de do Passo 3.
Aplicando na fórmula:

Passo 6

Vamos agora estimar o erro cometido em cada aproximação. Para isso, usamos as seguintes fórmulas de erro:
  • Erro da regra dos trapézios:
ETrapézios <= (b - a)^312n^2 cdot maxa <= x <= b |f''(x)| é
  • Erro da regra de Simpson 1/3:
ESimpson <= (b - a)^5180n^4 cdot maxa <= x <= b |f^(4)(x)|
Primeiro, calculamos a segunda derivada de f'(x) = -12x^-3/2 :
f''(x) = 34x^-5/2
f''(2) = 34 times 2^-5/2 = 34 times 14raiz2 = 316raiz2 approx 0.132
O valor máximo de ETrapézios <= (14 - 2)^312 times 4^2 times 0.132 = 12^3192 times 0.132 = 1728192 times 0.132 approx 9 times 0.132 = 1.188 no intervalo ETrapézios <= 12^312 times 6^2 times 0.132 = 1728432 times 0.132 = 4 times 0.132 = 0.528 ocorre em f^(4)(x) = 10516x^-7/2 :
f^(4)(2) = 10516 times 2^-7/2 = 10516 times 111.3137 approx 0.578
Agora, aplicando na fórmula do erro dos trapézios para ESimpson <= 12^5180 times 4^4 times 0.578 = 248832180 times 256 times 0.578 approx 24883246080 times 0.578 approx 5.4 times 0.578 approx 3.118 e ESimpson <= 12^5180 times 6^4 times 0.578 = 248832180 times 1296 times 0.578 approx 248832233280 times 0.578 approx 1.066 times 0.578 approx 0.616 :
Para :
é
Para :
é
Já para o erro da regra de Simpson, precisaríamos da quarta derivada de , que para é:
O máximo no intervalo é em :
Aplicando na fórmula do erro de Simpson para e :
Para :
Para :

Passo 7

Vamos agora calcular o valor exato da integral para comparar com as aproximações.
integral 1raizx , dx = 2raizx + C
Calculando entre 2 e 14:
2raiz14 - 2raiz2 approx 2 times 3.7417 - 2 times 1.4142 = 7.4834 - 2.8284 = 4.655

Passo 8

Vamos comparar as aproximações com o valor exato:
  • Regra dos Trapézios com 4 subdivisões: com erro estimado
  • Regra dos Trapézios com 6 subdivisões: com erro estimado
  • Regra de Simpson 1/3 com 4 subdivisões: com erro estimado
  • Regra de Simpson 1/3 com 6 subdivisões: com erro estimado
  • Valor exato:
Como vemos, todas as aproximações estão bem próximas do valor exato . Quanto mais subdivisões usamos, mais próximo o resultado fica do valor real, e o erro diminui, mostrando que os métodos estão funcionando direitinho!

Resposta

Através dos cálculos, as aproximações obtidas foram:
  • Regra dos Trapézios:
    • 4 subdivisões:
    • 6 subdivisões:
  • Regra de Simpson 1/3:
    • 4 subdivisões:
    • 6 subdivisões:
O valor exato da integral é aproximadamente . As aproximações aumentam sua precisão conforme aumentamos o número de subdivisões, confirmando a eficácia dos métodos utilizados.

Exercícios relacionados