Considere a integral I=integral0^1 cos (-x^2) d x
Estime I pela regra de Simpson usando h=0.25,

Passo 1

Beleza! A gente tem que estimar a integral usando a Regra de Simpson com . A Regra de Simpson é uma técnica de aproximação para integrais definidas, que faz isso dividindo a área sob a curva em segmentos parabolicos. Para isso, vamos precisar calcular os valores da função nos pontos divididos pelo passo , e depois aplicar a fórmula da Regra de Simpson.

Passo 2

Primeiro, vamos ajustar a função. Note que I = integral0^1 cos(x^2) , dx é igual a , porque o cosseno é uma função par (ou seja, ). Então, simplificamos nossa integral para:

Passo 3

Agora, vamos dividir o intervalo x0 = 0, x1 = 0.25, x2 = 0.5, x3 = 0.75, x4 = 1 em subintervalos com largura . Isso significa que teremos subintervalos. Os pontos onde vamos avaliar a função são:

Passo 4

Em seguida, calculamos os valores da função f(x0) &= cos(0^2) = cos(0) = 1 f(x1) &= cos((0.25)^2) = cos(0.0625) approx 0.99805 f(x2) &= cos((0.5)^2) = cos(0.25) approx 0.96891 f(x3) &= cos((0.75)^2) = cos(0.5625) approx 0.84721 f(x4) &= cos(1^2) = cos(1) approx 0.54030 nesses pontos:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da Regra de Simpson:
integrala^b f(x) dx approx h3 [ f(x0) + 2 sumpares f(xi) + 4 sumímpares f(xi) + f(xn) ] í
Para I approx 0.253 [ f(x0) + 2f(x2) + 2f(x4) + 4f(x1) + 4f(x3) + f(x4) ] , temos:
I approx h3 [ f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + f(x4) ]
Mas, na verdade, a fórmula correta para é:

Passo 6

Substituindo os valores que calculamos:
I approx 0.253 [ 1 + 4(0.99805) + 2(0.96891) + 4(0.84721) + 0.54030 ]
Vamos calcular dentro dos colchetes primeiro:
1 + 4(0.99805) = 1 + 3.9922 = 4.9922 2(0.96891) = 1.93782 4(0.84721) = 3.38884 Somando tudo: 4.9922 + 1.93782 + 3.38884 + 0.54030 = 10.85816

Passo 7

Agora, multiplicamos pelo fator I approx 0.253 times 10.85816 approx 0.0833 times 10.85816 approx 0.9040 :

Resposta

A estimativa da integral pela Regra de Simpson com é aproximadamente .

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