Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e de Simpson, usando quatro e seis divisões de
a, b. Obtenha um limitante superior para o erro cometido e compare com o valor exato, quando for possível.
integral1^2 exp (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
integral1^2 e^x,dx
pelas regras dos trapézios e de Simpson com n=4 e n=6 subdivisões, além de estimar limites superiores para os erros e compará-los com o valor exato.

Passo 2

As fórmulas gerais são:
Trapézios com n subintervalos de largura h=(b-a)/n:
Tn = hl(tfrac12f(x0)+f(x1)+cdots+f(xn-1)+tfrac12f(xn)r)
O erro satisfaz
|ET|<= (b-a)^312,n^2max[a,b]|f''(x)|
Simpson com n par:
Sn = h3l(f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+cdots+4f(xn-1)+f(xn)r)
O erro satisfaz
|ES|<= (b-a)^5180,n^4max[a,b]|f^(4)(x)|

Passo 3

Aqui f(x)=e^x, logo
f''(x)=e^x, f^(4)(x)=e^x,
e em [1,2] seu máximo é e^2.

Passo 4

Para n=4:
h=(2-1)/4=0.25.
Os nós são xi=1+0.25,i, i=0,dots,4, e os valores aproximados
f(x0)=e^1=2.71828,, f(x1)=e^1.25=3.49034,, f(x2)=e^1.5=4.48169,, f(x3)=e^1.75=5.75460,, f(x4)=e^2=7.38906
Aplicando:
Trapézios:
T4 = 0.25l(0.5cdot2.71828+3.49034+4.48169+5.75460+0.5cdot7.38906r) =4.69575
Simpson:
S4 = 0.253l(2.71828+4cdot3.49034+2cdot4.48169+4cdot5.75460+7.38906r) =4.67088

Passo 5

Para n=6:
h=(2-1)/6approx0.1666667.
Nós xi=1+tfraci6, i=0,dots,6, com
f(x0)&=2.71828,;f(x1)=e^1.1667approx3.21235,; f(x2)=e^1.3333approx3.79229, f(x3)&=4.48169,;f(x4)approx5.29510,; f(x5)approx6.25475,;f(x6)=7.38906
Aplicando:
Trapézios:
T6 = tfrac16l(tfrac2.71828+7.389062+3.21235+3.79229+4.48169+5.29510+6.25475r) =4.68126
Simpson:
S6 = 1/63l(2.71828+4(3.21235+4.48169+6.25475) +2(3.79229+5.29510)+7.38906r) =4.67072

Passo 6

O valor exato é
integral1^2e^x,dx = e^2 - e^1 = 7.38906 - 2.71828 = 4.67078

Passo 7

Calculamos os erros e os limites superiores:
Para os trapézios,
max|f''|=e^2, logo
|ET4|<= 1^312cdot4^2e^2 = e^2192approx0.03849, |T4-4.67078|=|4.69575-4.67078|=0.02497
|ET6|<= e^212cdot6^2=e^2432approx0.01710, |T6-4.67078|=0.01048
Para Simpson,
max|f^(4)|=e^2, logo
|ES4|<= 1^5180cdot4^4e^2 = e^246080approx0.000160, |S4-4.67078|=0.00010
|ES6|<= e^2180cdot6^4=e^2233280approx0.0000317, |S6-4.67078|=0.00006
Em todos os casos o erro real fica abaixo do limite teórico, e observa-se que Simpson converge muito mais rápido que trapézios.

Resposta

T 4=4.69575, S 4=4.67088,
T 6=4.68126, S 6=4.67072,
Valor exato =4.67078.
Erros e limites superiores conforme calculado acima.

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