Calcule a raiz positiva da função f(x)=x^2+ln (x) com erro menor igual a 0,01 no intervalo [12, 1].

Passo 1

O enunciado pede encontrar a raiz positiva da função f(x)=x^2+ln(x) no intervalo [tfrac12,1] com erro menor ou igual a 0,01. Vamos usar o método da bisseção, apropriado quando a função é contínua e muda de sinal.

Passo 2

Verificamos que f é contínua em [tfrac12,1] pois é soma de x^2 e ln(x), ambas contínuas para x>0. Calculamos
fl(tfrac12r)=tfrac14+lnl(tfrac12r)=0,25-0,6931approx-0,4431,
f(1)=1+0=1
Como há mudança de sinal, existe pelo menos uma raiz pelo Teorema de Bolzano. Além disso,
f'(x)=2x+1x>0para x>0,
logo f é estritamente crescente e a raiz é única.

Passo 3

No método da bisseção, a cada iteração dividimos o comprimento do intervalo inicial L0=1-tfrac12=0,5 por 2. Após n iterações, o erro máximo ao usar o ponto médio é
L02^n+1
Para garantir erro <=0,01 devemos ter
0,52^n+1<=0,01 Longrightarrow 2^n+1>=50 Longrightarrow n>=4,64,
logo escolhemos n=5.

Passo 4

Realizando as 5 iterações:
Na primeira iteração a=0,5, b=1, m=0,75 e f(m)approx0,2748>0, logo o novo intervalo é l[0,5,0,75r].
Na segunda iteração m=0,625, f(m)approx-0,0794<0, intervalo l[0,625,0,75r].
Na terceira iteração m=0,6875, f(m)approx0,0973>0, intervalo l[0,625,0,6875r].

Passo 5

Na quarta iteração m=0,65625, f(m)approx0,0095>0, intervalo l[0,625,0,65625r].
Na quinta iteração m=0,640625, f(m)approx-0,0349<0, intervalo l[0,640625,0,65625r].
O comprimento final do intervalo é 0,015625 e o erro máximo é metade disso, 0,0078125<=0,01.

Passo 6

Escolhemos como aproximação a média do intervalo final:
x^*=0,640625+0,656252=0,6484375,
que satisfaz o critério de erro.

Resposta

A raiz positiva aproximada é 0,6484375, com erro menor ou igual a 0,01.

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