Estime o valor de uma das raízes da função f(x)=x^5+x-1 no intervalo [0,1] com erro de 0,01 .

Passo 1

O enunciado pede para estimar uma raiz da função
f(x)=x^5+x-1
no intervalo [0,1] com erro no valor de x menor que 0,01.
Conteúdo: teorema do valor intermediário e método da bisseção.

Passo 2

Verificamos primeiro que f é contínua em [0,1] e
f(0)=0^5+0-1=-1<0, f(1)=1^5+1-1=1>0
Como f(0)cdot f(1)<0, pelo teorema do valor intermediário existe ao menos uma raiz em [0,1]. Como f é estritamente crescente em todo R (derivada 5x^4+1>0), essa raiz é única.

Passo 3

Aplicamos o método da bisseção: em cada iteração calculamos o ponto médio do intervalo em que f muda de sinal e escolhemos o subintervalo adequado. Queremos que o erro em x (metade do comprimento do intervalo) seja menor que 0,01.

Passo 4

Iterações do método da bisseção:
&[a0,b0]=[0,1], c1=tfrac0+12=0,5, f(c1)=-0,46875<0 implies [a1,b1]=[0,5,1], &c2=tfrac0,5+12=0,75, f(c2)=-0,012695<0 implies [a2,b2]=[0,75,1], &c3=tfrac0,75+12=0,875, f(c3)=0,3862>0 implies [a3,b3]=[0,75,0,875], &c4=tfrac0,75+0,8752=0,8125, f(c4)=0,1665>0 implies [a4,b4]=[0,75,0,8125], &c5=tfrac0,75+0,81252=0,78125, f(c5)=0,07145>0 implies [a5,b5]=[0,75,0,78125], &c6=tfrac0,75+0,781252=0,765625, f(c6)=0,0284>0 implies [a6,b6]=[0,75,0,765625]

Passo 5

Após 6 iterações o comprimento do intervalo é
b6-a6=0,765625-0,75=0,015625,
portanto o erro máximo em x (metade desse comprimento) é
0,0156252=0,0078125<0,01
Podemos então tomar como aproximação da raiz o ponto médio
xaprox=c7=0,75+0,7656252=0,7578125

Resposta

A raiz estimada em [0,1] com erro menor que 0,01 é aproximadamente
0,7578

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