Calcule a raíz positiva da função f(x)=x-cos (x) com erro menor igual a 10^-1. Obs.: Construa o gráfico com duas funções separadas para estimar o intervalo.

Passo 1

O problema pede a raiz positiva da função
f(x)=x-cos(x)
com erro absoluto menor ou igual a 10^-1.
Conteúdo: método da bisseção. Vamos primeiro estimar, via gráfico de y=x e y=cos(x), um intervalo [a,b] onde f(a) e f(b) tenham sinais opostos.

Passo 2

No gráfico, a reta y=x cresce de 0 a +infty e o cosseno parte de 1 decrescendo. Vemos que as curvas se cruzam em algum ponto entre x=0 e x=1. De fato,
f(0)=0-cos(0)=-1<0, f(1)=1-cos(1)approx1-0,5403=0,4597>0,
logo há uma raiz em [0,1].

Passo 3

Aplicamos a bisseção em [a,b]=[0,1] até o erro b-a2<=10^-1.
  1. Iteração 1:
    m1=0+12=0,5, f(0,5)=0,5-cos(0,5)approx0,5-0,8776=-0,3776<0
    Como f(m1)<0, atualizamos [a,b]=[0,5,1].
  2. Iteração 2:
    m2=0,5+12=0,75, f(0,75)=0,75-cos(0,75)approx0,75-0,7317=0,0183>0
    Agora f(m2)>0, atualizamos [a,b]=[0,5,0,75].
  3. Iteração 3:
    m3=0,5+0,752=0,625, f(0,625)=0,625-cos(0,625)approx0,625-0,8109=-0,1859<0
    Logo [a,b]=[0,625,0,75].
O comprimento desse intervalo é
b-a=0,75-0,625=0,125
e o erro máximo na aproximação por tfraca+b2 vale
b-a2=0,0625<=0,1

Passo 4

Como b-a2<=10^-1, podemos parar. A aproximação da raiz fica em
xapprox0,625+0,752=0,6875

Resposta

A raiz positiva de f(x)=x-cos(x), com erro <=10^-1, é aproximadamente
xapprox0,6875

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