Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e pela de Simpsons, usando 04 e 10 divisões de [a, b]
integral0^pi / 2 sen^2 x d x.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente aproximar
integral0^pi/2 sin^2 x ,dx
usando duas técnicas de integração numérica – a regra dos trapézios e a de Simpson – com 4 e com 10 divisões do intervalo .
Conteúdo: métodos numéricos de integração aproximada.
O que vamos precisar:
  1. A fórmula da regra dos trapézios,
  2. A fórmula da regra de Simpson,
  3. Calcular os nós e os valores ,
  4. Somar e multiplicar conforme cada fórmula.

Passo 2

Regra dos trapézios: para Tn=h2l[f(x0)+2sumi=1^n-1f(xi)+f(xn)r], divisões,
T4=pi/82l[0+2(0,1464+0,5+0,8536)+1r] =pi16(2cdot1,5+1) =pi16cdot4 =pi4
onde .
Para :
  • , .
  • Os pontos são , com .
  • Calculamos , , , , .
    Agora:

Passo 3

Ainda regra dos trapézios, mas com T10=pi/202l[0+2cdot4,5+1r] =pi40(9+1) =10pi40 =pi4 :
  • .
  • Temos , .
  • Em tudo, a soma (usando valores como , , etc.).
    Então

Passo 4

Regra de Simpson: para Sn=h3l[f(x0)+4sumímparesf(xi)+2sumparesf(xi)+f(xn)r] par,
S4=pi/83l[0+4(0,1464+0,8536)+2cdot0,5+1r] =pi24(4cdot1+1+1) =pi24cdot6 =pi4 í
Para : e já temos os mesmos do passo 2.

Passo 5

Simpson com S10=pi/203l[0+4cdot2,5+2cdot2,0+1r] =pi60(10+4+1) =pi60cdot15 =pi4 : .
  • Soma sobre índices ímpares ( ) dá .
  • Soma sobre índices pares ( ) dá .

Resposta

Todas as quar­ta aproximações (trapézios e Simpson, com 4 e com 10 divisões) dão
boxedpi4approx0,7854

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