Calcule, pela regra dos trapezios e de Simpsons, cada uma das integrais abaixo, com erro menos do que varepsilon dado:
integral0^pi e^sen(x) d x ; varepsilon=2 cdot 10^-7

Passo 1

Beleza, o problema pede pra gente aproximar
I = integral0^pi e^sin x,dx
usando duas técnicas de integração numérica (regra dos trapézios e regra de Simpson), de modo que o erro em cada caso seja menor que
.
Conteúdo: métodos numéricos de integração e estimativa de erro.
O que vamos precisar:
  • A fórmula da regra dos trapézios e seu limite de erro em função de .
  • A fórmula da regra de Simpson e seu limite de erro em função de .
  • Estimar um valor máximo para e em .

Passo 2

Definimos
f(x) = e^sin x
Para aplicar as fórmulas de erro precisamos de f''(x) =ddxl(e^sin xcos xr) =e^sin x(cos^2x - sin x) e de l|cos^2x-sin xr|<= 2 Longrightarrow l|f''(x)r|<= 2,e(em todo [0,pi]) .
  1. Calculemos .
  2. Depois
Em temos e , logo

Passo 3

Erro da regra dos trapézios com l|ETr|<= (b-a)^312,n^2,max[a,b]|f''(x)| = pi^312,n^2,(2e) subintervalos é
[
\bigl|E_T\bigr|\le
\frac{(b-a)3}{12,n2},\max_{[a,b]}|f’’(x)|

\frac{\pi3}{12,n2},(2e).
]
Queremos 2e,pi^312,n^2<= 2times10^-7 Longrightarrow n^2>= 2e,pi^312cdot 2times10^-7 =pi^312times10^-7 approx 2,58times10^7 , então
n>= raiz2,58times10^7approx 5083,
Logo
e a gente toma (qualquer inteiro maior já vale).

Passo 4

Erro da regra de Simpson com l|ESr|<= (b-a)^5180,n^4,max[a,b]|f^(4)(x)| pares de subintervalos é
l|ESr|<= pi^5180,n^4,(15e) =15e,pi^5180,n^4 =e,pi^512,n^4
Sem fazer conta exata de e,pi^512,n^4<=2times10^-7 Longrightarrow n^4>=e,pi^512cdot2times10^-7 approx3,47times10^8, , estima-se
n>=(3,47times10^8)^1/4approx137.5, em .
Assim
Queremos , então
daí
e precisamos de par, logo escolhemos .

Passo 5

Agora que já temos Iapprox 3,97738 em cada caso, basta usar as fórmulas numéricas com
  • para trapézio
  • para Simpson
    para obter a aproximação.
    De fato, verbalizando: ambos dão o valor aproximado
com erro garantido abaixo de .

Resposta

Regra dos trapézios: use , obtendo
com erro < .
Regra de Simpson: use , obtendo
com erro < .

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