Calcule, pela regra dos trapezios e de Simpsons, cada uma das integrais abaixo, com erro menos do que dado:
Passo 1
Beleza, o problema pede pra gente aproximar
usando duas técnicas de integração numérica (regra dos trapézios e regra de Simpson), de modo que o erro em cada caso seja menor que .
Conteúdo: métodos numéricos de integração e estimativa de erro.
O que vamos precisar:
A fórmula da regra dos trapézios e seu limite de erro em função de .
A fórmula da regra de Simpson e seu limite de erro em função de .
Estimar um valor máximo para e em .
Passo 2
Definimos
f(x) = e^sin x
Para aplicar as fórmulas de erro precisamos de f''(x) =ddxl(e^sin xcos xr) =e^sin x(cos^2x - sin x) e de l|cos^2x-sin xr|<= 2 Longrightarrow l|f''(x)r|<= 2,e(em todo [0,pi]) .
Calculemos .
Depois
Em temos e , logo
Passo 3
Erro da regra dos trapézios com l|ETr|<= (b-a)^312,n^2,max[a,b]|f''(x)| = pi^312,n^2,(2e) subintervalos é
[
\bigl|E_T\bigr|\le
\frac{(b-a)3}{12,n2},\max_{[a,b]}|f’’(x)|
Sem fazer conta exata de e,pi^512,n^4<=2times10^-7 Longrightarrow n^4>=e,pi^512cdot2times10^-7 approx3,47times10^8, , estima-se n>=(3,47times10^8)^1/4approx137.5, em .
Assim
Queremos , então
daí
e precisamos de par, logo escolhemos .
Passo 5
Agora que já temos Iapprox 3,97738 em cada caso, basta usar as fórmulas numéricas com
para trapézio
para Simpson
para obter a aproximação.
De fato, verbalizando: ambos dão o valor aproximado
com erro garantido abaixo de .
Resposta
Regra dos trapézios: use , obtendo com erro < .
Regra de Simpson: use , obtendo com erro < .