Calcule a integral abaixo pela regra dos trapézios e pela regra 1 / 3 de Simpson, usando 4 e 6 divisões do intervalo [a, b] :
integral1^2 e^-x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral integral1^2 e^-x dx usando duas técnicas de integração numérica: a regra dos trapézios e a regra 1 / 3 de Simpson. Para isso, vamos dividir o intervalo [1, 2] em 4 e 6 partes iguais. A matéria que estamos trabalhando aqui é integração numérica, e vamos precisar entender como essas regras funcionam para aproximar o valor da integral.

Passo 2

Regra dos Trapézios com 4 divisões
Primeiro, vamos aplicar a regra dos trapézios com 4 divisões. A regra dos trapézios aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo em trapézios.
  1. Determinar o tamanho do passo ( h): h = b - an = 2 - 14 = 0,25
  2. Encontrar os pontos de divisão: x0 = 1, x1 = 1,25, x2 = 1,5, x3 = 1,75, x4 = 2
  3. Calcular os valores da função nesses pontos: f(x) = e^-x f(1) = e^-1, f(1,25) = e^-1,25, f(1,5) = e^-1,5, f(1,75) = e^-1,75, f(2) = e^-2
  4. Aplicar a fórmula da regra dos trapézios: Integral approx h2 [ f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + 2f(x3) + f(x4) ]
  5. Substituir os valores: Integral approx 0,252 [ e^-1 + 2e^-1,25 + 2e^-1,5 + 2e^-1,75 + e^-2 ]
  6. Calcular o resultado numérico: Integral approx 0,125 times (0,3679 + 2 times 0,2865 + 2 times 0,2231 + 2 times 0,1738 + 0,1353) approx 0,125 times 1,398 approx 0,1748

Passo 3

Regra dos Trapézios com 6 divisões
Agora, vamos repetir o processo com 6 divisões.
  1. Determinar o tamanho do passo ( h): h = 2 - 16 = 16 approx 0,1667
  2. Encontrar os pontos de divisão: x0 = 1, x1 approx 1,1667, x2 approx 1,3333, x3 approx 1,5, x4 approx 1,6667, x5 approx 1,8333, x6 = 2
  3. Calcular os valores da função nesses pontos: f(x) = e^-x f(1) approx 0,3679, f(1,1667) approx 0,3115, f(1,3333) approx 0,2636, f(1,5) approx 0,2231, f(1,6667) approx 0,1889, f(1,8333) approx 0,1602, f(2) approx 0,1353
  4. Aplicar a fórmula da regra dos trapézios: Integral approx h2 [ f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + 2f(x3) + 2f(x4) + 2f(x5) + f(x6) ]
  5. Substituir os valores: Integral approx 0,16672 [ 0,3679 + 2(0,3115) + 2(0,2636) + 2(0,2231) + 2(0,1889) + 2(0,1602) + 0,1353 ]
  6. Calcular o resultado numérico: Integral approx 0,08335 times (0,3679 + 0,6230 + 0,5272 + 0,4462 + 0,3778 + 0,3204 + 0,1353) approx 0,08335 times 2,7968 approx 0,2331

Passo 4

Regra 1 / 3 de Simpson com 4 divisões
A regra de Simpson é mais precisa e utiliza parábolas para aproximar a área. Com 4 divisões, que é um múltiplo de 2, podemos aplicá-la.
  1. Determinar o tamanho do passo ( h): h = 2 - 14 = 0,25
  2. Encontrar os pontos de divisão e calcular f(x): x0 = 1, x1 = 1,25, x2 = 1,5, x3 = 1,75, x4 = 2 f(x0) = e^-1, f(x1) = e^-1,25, f(x2) = e^-1,5, f(x3) = e^-1,75, f(x4) = e^-2
  3. Aplicar a fórmula da regra de Simpson: Integral approx h3 [ f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + f(x4) ]
  4. Substituir os valores: Integral approx 0,253 [ e^-1 + 4e^-1,25 + 2e^-1,5 + 4e^-1,75 + e^-2 ]
  5. Calcular o resultado numérico: Integral approx 0,0833 times (0,3679 + 4 times 0,2865 + 2 times 0,2231 + 4 times 0,1738 + 0,1353) approx 0,0833 times 2,185 approx 0,1812

Passo 5

Regra 1 / 3 de Simpson com 6 divisões
Vamos aplicar a regra de Simpson com 6 divisões, novamente um múltiplo de 2.
  1. Determinar o tamanho do passo ( h): h = 2 - 16 approx 0,1667
  2. Encontrar os pontos de divisão e calcular f(x): x0 = 1, x1 approx 1,1667, x2 approx 1,3333, x3 approx 1,5, x4 approx 1,6667, x5 approx 1,8333, x6 = 2 f(x0) approx 0,3679, f(x1) approx 0,3115, f(x2) approx 0,2636, f(x3) approx 0,2231, f(x4) approx 0,1889, f(x5) approx 0,1602, f(x6) approx 0,1353
  3. Aplicar a fórmula da regra de Simpson: Integral approx h3 [ f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + 2f(x4) + 4f(x5) + f(x6) ]
  4. Substituir os valores: Integral approx 0,16673 [ 0,3679 + 4(0,3115) + 2(0,2636) + 4(0,2231) + 2(0,1889) + 4(0,1602) + 0,1353 ]
  5. Calcular o resultado numérico: Integral approx 0,05556 times (0,3679 + 1,246 + 0,5272 + 0,8924 + 0,3778 + 0,6408 + 0,1353) approx 0,05556 times 3,6866 approx 0,2048

Resposta

Utilizando a regra dos trapézios com 4 divisões, a integral é aproximadamente 0,1748; com 6 divisões, é aproximadamente 0,2331. Já usando a regra 1 / 3 de Simpson, com 4 divisões a integral vale aproximadamente 0,1812 e com 6 divisões, aproximadamente 0,2048.

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