Considere as integrais:
(I)
,
(II)
.
Determine uma fórmula geral para o cálculo das integrais usando:
Regra dos Trapézios.
(I)
(II)
Determine uma fórmula geral para o cálculo das integrais usando:
Regra dos Trapézios.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente aproximar duas integrais múltiplas – uma dupla e uma tripla – usando a regra dos trapézios.
Conteúdo: método numérico de integração (regra dos trapézios).
O que vamos precisar:
Conteúdo: método numérico de integração (regra dos trapézios).
O que vamos precisar:
- Dividir o intervalo em “m” subintervalos em
, “n” em (e “p” em ). - Saber a regra do trapézio em 1D e estendê-la por somas iteradas.
Passo 2
Teoria rápida da regra dos trapézios em 1D:
Para com passo
, define
. A aproximação é
Para
As pontas (índices 0 e
) têm peso 1, as outras têm peso 2.
Passo 3
Extensão para 2D,
.
- Dividimos
em pedaços de tamanho , com . - Dividimos
em pedaços de tamanho , com . - A ideia é aplicar a regra dos trapézios em cada direção e combinar:
- Defina peso em
: se ou , senão . - Defina peso em
: se ou , senão .
- Defina peso em
- A soma dupla fica
Passo 4
Extensão para 3D,
.
- Partes:
em , em , em . -
, , pesos . -
, , pesos . -
, , pesos .
-
- Combina os três:
Resposta
Fórmulas gerais pela regra dos trapézios:
(I) Para
, com subdivisões
:
onde
,
,
se
ou
, senão 2;
se
ou
, senão 2.
(II) Para
, com
:
onde
e cada peso
na borda, 2 no interior.