Considere as integrais:
(I) integrala^b integralc^d g(x, y) d x d y,
(II) integrala^b integralc^d integralc^f g(x, y, z) d x d y d z.
Determine uma fórmula geral para o cálculo das integrais usando:
Regra dos Trapézios.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente aproximar duas integrais múltiplas – uma dupla e uma tripla – usando a regra dos trapézios.
Conteúdo: método numérico de integração (regra dos trapézios).
O que vamos precisar:
  1. Dividir o intervalo em “m” subintervalos em , “n” em (e “p” em ).
  2. Saber a regra do trapézio em 1D e estendê-la por somas iteradas.

Passo 2

Teoria rápida da regra dos trapézios em 1D:
Para integrala^b f(x),dx approx h2l[f(x0)+2f(x1)+2f(x2)+dots+2f(xm-1)+f(xm)r] com passo , define . A aproximação é
As pontas (índices 0 e ) têm peso 1, as outras têm peso 2.

Passo 3

Extensão para 2D, integrala^b!!integralc^d g(x,y),dx,dy approx hx,hy4 sumi=0^msumj=0^n l(wi^x,wj^yr), g(xi,yj) .
  1. Dividimos em pedaços de tamanho , com .
  2. Dividimos em pedaços de tamanho , com .
  3. A ideia é aplicar a regra dos trapézios em cada direção e combinar:
    • Defina peso em : se ou , senão .
    • Defina peso em : se ou , senão .
  4. A soma dupla fica

Passo 4

Extensão para 3D, integrala^b!!integralc^d!!integralc^f g(x,y,z),dx,dy,dz approx hx,hy,hz8 sumi=0^msumj=0^nsumk=0^p l(wi^x,wj^y,wk^zr), g(xi,yj,zk) .
  1. Partes: em , em , em .
    • , , pesos .
    • , , pesos .
    • , , pesos .
  2. Combina os três:

Resposta

Fórmulas gerais pela regra dos trapézios:
(I) Para boxed integrala^b!!integralc^d g(x,y),dx,dy approx hx,hy4 sumi=0^msumj=0^n (wi^x,wj^y),g(xi,yj), , com subdivisões boxed integrala^b!!integralc^d!!integralc^f g(x,y,z),dx,dy,dz approx hx,hy,hz8 sumi=0^msumj=0^nsumk=0^p (wi^x,wj^y,wk^z),g(xi,yj,zk), :
onde , ,
se ou , senão 2;
se ou , senão 2.
(II) Para , com :
onde e cada peso na borda, 2 no interior.

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