Calcule a integral definida usando os resultados:
  • integral-1^2 x^2 d x=3;
  • integral-1^2 x d x=32
  • integral0^pi sin x d x=2.
    integral2^-1(2 x+1)^2 d x; Resp. -21

Passo 1

Tranquilo, vamos resumir: a questão pede para calcular a integral
integral2^-1(2x+1)^2 ,dx
Isso envolve conteúdo de cálculo de integrais definidas, uso de propriedades de linearidade (separar soma de funções em várias integrais) e invertendo limites de integração. Para isso, vamos usar os resultados dados:
  • além de uma noção básica de que .

Passo 2

Primeiro, perceba que os limites estão “ao contrário”: estamos indo de integral2^-1 f(x),dx = -integral-1^2 f(x),dx até integral2^-1(2x+1)^2 ,dx = -integral-1^2(2x+1)^2,dx . A teoria diz que
Então já podemos escrever

Passo 3

Agora vamos “abrir” o quadrado para facilitar a integração. A fórmula é simples:
(2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1
Isso vem de , aqui e .

Passo 4

Usando a linearidade da integral, a gente separa:
integral-1^2(4x^2 + 4x + 1),dx = 4!integral-1^2 x^2,dx ;+; 4!integral-1^2 x,dx ;+; integral-1^2 1,dx
A propriedade usada é
.

Passo 5

Agora substituímos os valores conhecidos:
  • 4cdot 3 ;+; 4cdot tfrac32 ;+; 3 = 12 + 6 + 3 = 21 ,
  • integral2^-1(2x+1)^2 ,dx = -,21 ,
  • .
Então
Isso é o valor de .
Voltando ao passo de inverter os limites, lembramos que há um sinal “−” na frente:

Resposta

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