Calcule a integral.
integral duplaB 1 d A, em que B=(x, y) ; 0 <= x^2a^2+y^2b^2 <= 1, para a>0 e b>0 são constantes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla
integral duplaB1,dA,
sendo
B=l(x,y);|;0<= x^2a^2+y^2b^2<=1r,
que é a região dentro de uma elipse de semi-eixos e .
Conteúdo: mudança de variáveis e Jacobiano para transformar a elipse num disco unitário, depois área do disco.

Passo 2

A ideia é “achatar” a elipse numa circunferência unitária. Definimos
u = xa, v = yb
Assim, a condição vira , que é o disco de raio 1 em .

Passo 3

Quando fazemos x = a,u, y = b,v Longrightarrow detpartial(x,y)partial(u,v) = a & 0 [6pt] 0 & b = a,b , precisamos do fator de escala (Jac­obiano).
Então .

Passo 4

A integral fica
integral duplau^2+v^2<=1 1cdot(a,b),du,dv = a,b;integral duplau^2+v^2<=1du,dv
E é a área do disco de raio 1, isto é .

Resposta

integral duplaB1,dA = a,b;pi

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