Resolva as equações abaixo:
z^3=i

Passo 1

Beleza, a questão pede para a gente achar todos os números complexos z que satisfazem
z^3 = i,
Isso é matéria de números complexos, mais precisamente o uso da forma trigonométrica (ou polar) dos complexos e o Teorema de De Moivre para extrair raízes. Vamos precisar:
1) passar o i para forma trigonométrica (módulo e argumento),
2) usar a fórmula das raízes de ordem 3,
3) calcular cada solução.

Passo 2

Primeiro, escreve o i em forma trigonométrica. A gente sabe que
i = 0 + 1,i
tem módulo
r = |i| = 1
e argumento (ângulo)
theta = pi2 + 2pi n, n in Z,
Então,
i = 1;l(cos(tfracpi2 + 2pi n) + isin(tfracpi2 + 2pi n)r),

Passo 3

Pela fórmula das raízes de ordem 3 (Teorema de De Moivre invertido), as soluções de z^3 = i são
zk = raiz[3]r,l[cos!l(tfractheta+2pi k3r) + isin!l(tfractheta+2pi k3r)r], k=0,1,2
Aqui raiz[3]r = 1^1/3 = 1 e theta = tfracpi2 (a gente já absorveu o 2pi n no 2pi k), então
zk = cos!l(tfracpi/2 + 2pi k3r) + isin!l(tfracpi/2 + 2pi k3r)

Passo 4

Agora é só calcular para k=0,1,2:
  • Para k=0:
    pi/2 + 2picdot03 = pi6,
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    z0 = cos!l(tfracpi6r)+isin!l(tfracpi6r) = raiz32 + i2
  • Para k=1:
    pi/2 + 2picdot13 = pi/2 + 2pi3 = 5pi6,
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    z1 = cos!l(tfrac5pi6r)+isin!l(tfrac5pi6r) = -raiz32 + i2
  • Para k=2:
    pi/2 + 2picdot23 = pi/2 + 4pi3 = 9pi6 = 3pi2,
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    z2 = cos!l(tfrac3pi2r)+isin!l(tfrac3pi2r) = 0 - i = -,i

Resposta

As soluções de z^3 = i são
boxedz = raiz32 + i2, -raiz32 + i2, -,i

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