Se
é não-nulo, mostre que os vetores que representam
e
são ortogonais.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos mostrar que, para qualquer número complexo não nulo
, os vetores que representam
e
no plano são ortogonais.
Conteúdo da matéria:
Conteúdo da matéria:
- Representação de complexos como vetores em
. - Produto escalar em
.
O que vamos precisar:
- Escrever
e associar a cada complexo o vetor . - Saber que o produto escalar de
e é . - Usar a propriedade: dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero.
Passo 2
Primeiro, seja
com
e
(logo
).
Teoria aplicada: todo número complexo pode ser visto como o vetor
no plano.
Teoria aplicada: todo número complexo
Passo 3
Agora, multipliquemos
por
:
Como vetor em
, isso corresponde a
.
Teoria aplicada: multiplicar por equivale a girar o vetor em
.
Teoria aplicada: multiplicar por
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar entre
e
:
Teoria aplicada: sempre que o produto escalar de dois vetores é zero, os vetores são ortogonais.
Resposta
Os vetores que representam
e
têm produto escalar zero, logo são ortogonais.