Se z in C é não-nulo, mostre que os vetores que representam z e i z são ortogonais.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos mostrar que, para qualquer número complexo não nulo , os vetores que representam e no plano são ortogonais.
Conteúdo da matéria:
  • Representação de complexos como vetores em .
  • Produto escalar em .
    O que vamos precisar:
  1. Escrever e associar a cada complexo o vetor .
  2. Saber que o produto escalar de e é .
  3. Usar a propriedade: dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero.

Passo 2

Primeiro, seja
z = a + bi,
com e (logo ).
Teoria aplicada: todo número complexo pode ser visto como o vetor no plano.

Passo 3

Agora, multipliquemos i,z = i,(a+bi) = ia + i^2 b = ia - b = -b + ia por :
Como vetor em , isso corresponde a .
Teoria aplicada: multiplicar por equivale a girar o vetor em .

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar entre (a,b)cdot(-b,a) = acdot(-b) + bcdot a = -ab + ab = 0 e :
Teoria aplicada: sempre que o produto escalar de dois vetores é zero, os vetores são ortogonais.

Resposta

Os vetores que representam e têm produto escalar zero, logo são ortogonais.

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