Calcule a integral:
integral duplaB(x^2+y^2) d x d y, em que B=(x, y) ; 0 <= x^2+y^2 <= 1.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem que calcular a integral dupla
integral duplaB(x^2+y^2),dx,dy
no disco .
Esse tópico é de integrais duplas usando coordenadas polares.
O que vamos precisar:
  • Entender o domínio como um círculo de raio 1;
  • Mudar de para usando , ;
  • Lembrar do Jacobiano .

Passo 2

Primeiro, explica rapidinho por que usar polares. No disco faz mais sentido descrever pontos por raio x^2+y^2 = r^2, dx,dy = r,dr,dtheta e ângulo integral duplaB(x^2+y^2),dx,dy = integraltheta=0^2pi!integralr=0^1 l(r^2r),(r,dr,dtheta) = integral0^2pi!integral0^1 r^3,dr,dtheta .
Em coordenadas polares:
Então a integral vira

Passo 3

Agora a parte de dentro, a integral em integral0^1 r^3,dr = [r^44]0^1 = 1^44-0 = 14 :

Passo 4

Sobrou só a integral em integral0^2pi 14,dtheta = 14 l[thetar]0^2pi = 14cdot 2pi = pi2 :

Resposta

boxedpi2

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