Calcule a integral:
integral0^2 pi integral0^R 2 x raizR^2-x^2 d x d y, em que R>0 é uma constante.

Passo 1

Beleza, o enunciado manda calcular a integral dupla
integraly=0^2piintegralx=0^R 2,x,raizR^2-x^2;dx;dy,
onde é constante.
Conteúdo: integrais iteradas e técnica de substituição.
O que vamos precisar:
  • Reconhecer que o integrando não depende de , então dá pra separar a parte em .
  • Usar a substituição pra resolver a parte em .

Passo 2

Primeiro a gente integra em integral0^2pi!!gl[integral0^R2xraizR^2-x^2,dxgr]dy = l(integral0^2pidyr);cdot;l(integral0^R2xraizR^2-x^2,dxr) . Como nada no integrando depende de 2pi;integral0^R2xraizR^2-x^2,dx , temos
E . Então vira

Passo 3

Agora focamos em
I = integral0^R2xraizR^2-x^2,dx
A ideia é a substituição I = integralx=0^x=R2xraizR^2-x^2,dx = integralu=R^2^u=0 raizu;(-du) = integralu=0^u=R^2 u^1/2,du . Daí integral u^1/2,du = u^3/2tfrac32 = 23,u^3/2 , ou seja I = l[tfrac23u^3/2r]0^R^2 = 23,(R^2)^3/2 - 0 = 23,R^3 .
Quando , ; quando , .
Então
Essa integral é básica:
Logo,

Passo 4

Voltando à integral completa, lembramos do fator integral0^2pi!!integral0^R2xraizR^2-x^2,dx,dy = 2pi ;times; I = 2pi ;times;23R^3 = 4pi3,R^3 :

Resposta

boxed4pi3,R^3

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