Calcule a integral:
integral0^3 integral0^raiz9-y^2 x y d x d y.

Passo 1

Beleza, o que a questão pede é calcular a integral dupla
integral0^3!integral0^raiz9-y^2 x,y ;dx,dy
Isso cai em Integrais Duplas e no Teorema de Fubini, que diz basicamente: se a função for contínua (aqui é bem comportada) a gente pode transformar a integral sobre uma região em duas integrais simples, uma “por dentro” e outra “por fora”.
O que vamos precisar:
  1. Entender que é tratada como constante quando integrar em .
  2. Saber integrar polinômios básicos ( e ).
  3. Depois integrar o resultado como função de de 0 a 3.

Passo 2

Primeiro, fixamos integral0^raiz9-y^2 x,y ;dx =;y;integral0^raiz9-y^2 x;dx e integramos em y;gl[x^22gr]0^raiz9-y^2 ;=; y;cdot(raiz9-y^2)^22 ;=; y;cdot9-y^22 ;=; 9y - y^32 :
Aqui sai da integral (é constante). E .
Então

Passo 3

Agora você tem que integrar isso em integral0^3 9y - y^32;dy =12integral0^3(9y - y^3),dy de 0 a 3:
12l[tfrac9y^22 - tfracy^44r]0^3 =12l(9cdot3^22 - 3^44r) =12l(812 - 814r)
Usando integrais de polinômios:
12l(1624 - 814r) =12cdot814 =818 e .
Então
Colocando no mesmo denominador: , logo

Resposta

boxed818

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