Calcular a parte real, parte imaginária, conjugado e módulo de cada número complexo a seguir:
e^2018 pi i

Passo 1

Então, o exercício pede pra gente calcular, para o número complexo
e^2018pi i,
a parte real, a parte imaginária, o conjugado e o módulo.
Isso faz parte de “Números Complexos” e, em especial, da fórmula de Euler
e^itheta=costheta + isintheta
e das propriedades de período do cosseno e do seno. Vamos precisar lembrar que
cos(npi)=(-1)^n, sin(npi)=0

Passo 2

Aplicando a fórmula de Euler direto no nosso número, com e^2018pi i ;=; cos(2018pi);+;i,sin(2018pi) :
A ideia agora é avaliar esses dois termos e .

Passo 3

Usando a periodicidade e a identidade para múltiplos de cos(2018pi)=1, sin(2018pi)=0, :
  • e^2018pi i=1 + icdot0 = 1 sempre que o argumento é um múltiplo inteiro de .
  • .
    Como 2018 é par, .
    Logo
e daí

Passo 4

Agora é só ler as informações desse número, que na prática é o real:
  • Parte real:
  • Parte imaginária:
  • Conjugado:
  • Módulo:

Resposta

Parte real = 1; parte imaginária = 0; conjugado = 1; módulo = 1.

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