Calcule a integral iterada.
integral0^2 integral0^x^2 integral0^1(2 x-y) d z d y d x

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra calcular a integral tripla iterada
integral0^2 !integral0^x^2 !integral0^1(2x - y),dz,dy,dx
Isso é conteúdo de cálculo de integrais múltiplas, onde a gente aplica a regra de integração em cada variável por vez, usando o Teorema Fundamental do Cálculo. Para resolver, a gente vai:
  1. integrar em (a função nem depende de , então é tranquilo),
  2. depois em ,
  3. e por fim em .

Passo 2

Integração em integral0^1(2x - y),dz :
(2x - y)integral0^1dz = (2x - y)l[zr]0^1 = (2x - y)cdot(1 - 0) = 2x - y
Como não depende de , ela sai da integral e vira

Passo 3

Agora a integral em integral0^x^2(2x - y),dy = integral0^x^22x,dy ;-;integral0^x^2y,dy :
2xl[yr]0^x^2 = 2x,(x^2-0) = 2x^3
– Para l[tfracy^22r]0^x^2 = tfrac(x^2)^22 - 0 = tfracx^42 , integral0^x^2(2x - y),dy = 2x^3 - tfracx^42 é constante em relação a , então dá
– Para , usamos a fórmula :
Juntando:

Passo 4

Por fim, integramos em integral0^2l(2x^3 - tfracx^42r),dx = integral0^22x^3,dx ;-; tfrac12integral0^2x^4,dx :
l[tfracx^42r]0^2 = tfrac2^42 = tfrac162 = 8
tfrac12l[tfracx^55r]0^2 = tfrac12cdot tfrac2^55 = tfrac12cdot tfrac325 = tfrac165 , então
8 - tfrac165 = tfrac405 - tfrac165 = tfrac245
, então
Subtraindo os dois resultados:

Resposta

boxedtfrac245

Exercícios relacionados