Aproxime os pontos da tabela abaixo pelo gráfico de uma função do tipo f(x)= 1+alpha1 e^alpha2 x utilizando o método dos mínimos quadrados.
|c|c|c|c|c|c| hline$i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 hline$xi$ & 0 & 0,5 & 1 & 2,5 & 3 hline$yi$ & 2 & 2,6 & 3,7 & 13,2 & 21 hline 1 2 3 4 5
0 0,5 1 2,5 3
2 2,6 3,7 13,2 21

Passo 1

O enunciado pede para aproximar cinco pontos f(x) ;=; 1 + alpha1 e^alpha2 x pela curva
yi - 1 = alpha1 e^alpha2 xi ;Longrightarrow; ln(yi - 1) = lnalpha1 + alpha2,xi
usando o método dos mínimos quadrados.
Conteúdo: regressão não‐linear.
O truque é “linearizar” tomando logaritmo: definimos
Yi = ln(yi - 1), A = lnalpha1, B=alpha2
Aí viramos um problema de reta com
Para resolver, precisamos somar , , e , depois aplicar as fórmulas da regressão linear.

Passo 2

Calcular os c|ccccc i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5hline xi & 0 & 0,5 & 1 & 2,5 & 3 yi & 2 & 2,6 & 3,7 & 13,2 & 21 yi-1 & 1 & 1,6 & 2,7 & 12,2 & 20 Yi=ln(yi-1) & 0 & 0,470 & 0,993 & 2,501 & 2,996 :
n &= 5, sum xi &= 0 + 0,5 + 1 + 2,5 + 3 = 7, sum Yi &= 0 + 0,470 + 0,993 + 2,501 + 2,996 = 6,960, sum xiYi &= 0cdot0 + 0,5cdot0,470 + 1cdot0,993 + 2,5cdot2,501 + 3cdot2,996 = 16,4685, sum xi^2 &= 0^2 + 0,5^2 + 1^2 + 2,5^2 + 3^2 = 16,5
Agora as somas que a gente precisa:

Passo 3

Na regressão linear B = nsum xiYi - (sum xi)(sum Yi) nsum xi^2 - (sum xi)^2, A = sum Yi - Bsum xin , temos:
De
Substituindo:

Passo 4

Voltando aos parâmetros originais:
alpha2 = B approx 1,004, alpha1 = e^A = e^-0,013approx 0,987
Logo a curva ajustada é
f(x) = 1 + 0,987,e^1,004,x,

Resposta

A função que melhor ajusta os dados pelo método dos mínimos quadrados (após linearização) é
boxed,f(x) = 1 + 0,987;e^1,004,x,

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