Seja f(x)=e^-x^22 abaixo tabelada :
|c|c|c|c|c| hline$k$ & 1 & 2 & 3 & 4 hline$xk$ & 0,180 & 0,190 & 0,195 & 0,200 hline(f(xk)=yk) & 0,98393 & 0,98211 & 0,98117 & 0,98020 hline 1 2 3 4
f 0,180 0,190 0,195 0,200
x1, x2, x3 0,98393 0,98211 0,98117 0,98020
Utilizando a máxima quantidade de pontos possíveis, pede-se:
a) O polinômio interpolador de x4 relativamente aos pontos f(0,194) e f na forma de Lagrange e uma aproximação para x1, x2, x3.
b) O polinômio interpolador de x4 relativamente aos pontos f(0,194) e na forma de Newton e uma aproximação para .

Passo 1

Beleza! O enunciado pede pra usar interpolação polinomial de grau 3 (4 pontos) pra aproximar
f(x)=e^-x^2/2
nos pontos
(x1,y1)=(0,180,0,98393),; (x2,y2)=(0,190,0,98211),; (x3,y3)=(0,195,0,98117),; (x4,y4)=(0,200,0,98020)
e depois calcular .
O conteúdo envolvido é Interpolação de Lagrange (base “L-k”) e Interpolação de Newton (diferenças divididas). Vamos precisar das fórmulas de cada método e dos próprios pontos para montar o polinômio e avaliá-lo em .

Passo 2

  1. Fórmula geral de Lagrange para grau 3:
PL(x);=;sumk=1^4 yk,Lk(x), Lk(x);=;prodsubstacki=1ineq k^4x - xixk - xi
  1. Para cada L1(x)=(x-x2)(x-x3)(x-x4)(x1-x2)(x1-x3)(x1-x4), L2,L3,L4;analogamente montamos L1(0,194)approx -0,008, L2(0,194)approx 0,168, L3(0,194)approx 0,896, L4(0,194)approx -0,056 . Por exemplo,
PL(0,194) =sumk=1^4 yk,Lk(0,194) =0,98393cdot(-0,008)+0,98211cdot0,168 +0,98117cdot0,896+0,98020cdot(-0,056) approx0,98134
  1. Avaliando em :
  • Calculei numeradores e denominadores de cada , obtendo
  • Então

Passo 3

  1. Primeiro construímos a tabela de diferenças divididas:
c|c|c|c|c x & f & [xi,xi+1] & [xi,xi+1,xi+2] & [xi,xi+1,xi+2,xi+3]hline 0,180 & 0,98393 & & & & & -0,182 & & 0,190 & 0,98211 & & -0,4 & & & -0,188 & & -10 0,195 & 0,98117 & & -0,6 & & & -0,194 & & 0,200 & 0,98020 & & &
Onde por exemplo
[x0,x1]=0,98211-0,983930,190-0,180=-0,182, [x0,x1,x2]=-0,188-(-0,182)0,195-0,180=-0,4,
e assim por diante até o grau 3.
2) A forma Newton é
PN(x) =y0 + [x0,x1],(x-x0) +[x0,x1,x2],(x-x0)(x-x1) +[x0,x1,x2,x3],(x-x0)(x-x1)(x-x2)
  1. Avaliando em PN(0,194) &=0,98393 +(-0,182)(0,194-0,180) +(-0,4)(0,194-0,180)(0,194-0,190) &+(-10)(0,194-0,180)(0,194-0,190)(0,194-0,195) approx0,98136 :

Resposta

Polinômio de Lagrange:
PL(x)=sumk=1^4 yk, prodineq kx-xixk-xi, PL(0,194)approx0,98134
Polinômio de Newton:
PN(x)=0,98393-0,182,(x-0,180)-0,4,(x-0,180)(x-0,190)-10,(x-0,180)(x-0,190)(x-0,195),
com .

Exercícios relacionados