Calcule a integral fazendo a substituição apropriada
integral e^cot x csc ^2 x d x

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede:
Calcular a integral
integral e^cot x,csc^2 x,dx
Isso cai em Conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente o método de “substituição” (às vezes chamado de -substituição).
O que vamos precisar:
  1. Saber que .
  2. Entender como escolher para simplificar a expressão e aplicar a regra da cadeia ao contrário.

Passo 2

Primeiro, a ideia da substituição é identificar dentro da integral uma parte cuja derivada apareça (ou seja igual, até um sinal). A gente vê u = cot x e logo lembra que a derivada de du = ddx(cot x),dx = -csc^2 x,dx é csc^2 x,dx = -,du . Então escolhemos:
Agora calculamos :
Reorganizando para trocar o diferencial:

Passo 3

Substituindo na integral original:
integral e^cot x,csc^2 x,dx = integral e^u ,(-du) = -integral e^u,du
Aqui só restou a integral básica de integral e^u,du = e^u + C . Sabemos da teoria que
- integral e^u,du = -e^u + C
Então

Passo 4

Por fim, voltamos à variável -e^u + C = -e^cot x + C , lembrando que . Então

Resposta

boxed-,e^cot x + C

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