Calcule a integral fazendo a substituição apropriada
integral 2 pi^x d x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente calcular
integral 2,pi^x,dx
usando uma substituição apropriada. Isso faz parte de cálculo integral, mais especificamente de integrais de funções exponenciais e do método de substituição. Para resolver, a gente vai precisar saber que a derivada de é e que, invertendo esse passo, a integral de é .

Passo 2

Primeiro truque: tira a constante 2 pra fora da integral, deixando
integral 2,pi^x,dx ;=; 2integral pi^x,dx
Agora o núcleo é . A gente poderia lembrar direto a fórmula, mas vamos mostrar via substituição pra fixar a ideia.

Passo 3

Fazendo a substituição:
  • Definimos du = d(pi^x) = pi^xln(pi);dx, .
  • Diferenciando, temos dx = dupi^xln(pi) = duu,ln(pi) então 2integral pi^x,dx = 2integral u;gl(duu,ln(pi)gr) = 2integral duln(pi) = 2ln(pi)integral du
Substituindo em :
Repara que o cancelou, sobrando uma integral simples de .

Passo 4

Agora é moleza:
integral du = u + C
Então
2ln(pi)integral du = 2ln(pi),u + C

Resposta

Voltando pra integral 2,pi^x,dx = 2,pi^xln(pi) + C (lembra que ):

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