Calcule a integral fazendo a substituição apropriada
integral x sec ^2(x^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede: “Calcule a integral fazendo a substituição apropriada
integral x ,sec^2l(x^2r),dx
O conteúdo aqui é Integração por substituição (ou método de mudança de variável). Para resolver, a gente vai identificar uma parte da expressão cuja derivada também aparece no integrando.

Passo 2

A técnica de substituição funciona assim: a gente escolhe uma nova variável u = x^2 para simplificar a integral. Repare que dentro do dudx = 2x Longrightarrow du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2 está , e a derivada de é , que é bem parecida com o que temos multiplicando. Então fazemos:
Agora derivamos em relação a :
Isso mostra como trocar por .

Passo 3

Substituindo na integral original:
[
\int x ,\sec{2}\bigl(x{2}\bigr),dx

\int \sec^{2}(u),\bigl(x,dx\bigr)

\int \sec^{2}(u),\frac{du}{2}

\frac12 \int \sec^{2}(u),du.
]
Agora usamos a antiderivada conhecida:
integral x ,sec^2l(x^2r),dx = integral sec^2(u),l(x,dxr) = integral sec^2(u),du2 = 12 integral sec^2(u),du
Então a gente tem
integral sec^2(u),du = tan(u) + C
Pra voltar pro 12 integral sec^2(u),du = 12,tan(u) + C , lembramos que .

Resposta

integral x ,sec^2l(x^2r),dx = 12,tanl(x^2r) + C

Exercícios relacionados