Calcule a integral fazendo a substituição apropriada
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede: “Calcule a integral fazendo a substituição apropriada
O conteúdo aqui é Integração por substituição (ou método de mudança de variável). Para resolver, a gente vai identificar uma parte da expressão cuja derivada também aparece no integrando.
Passo 2
A técnica de substituição funciona assim: a gente escolhe uma nova variável
para simplificar a integral. Repare que dentro do
está
, e a derivada de
é
, que é bem parecida com o
que temos multiplicando. Então fazemos:
Agora derivamos em relação a
:
Isso mostra como trocar
por
.
Passo 3
Substituindo na integral original:
[
\int x ,\sec{2}\bigl(x{2}\bigr),dx
\int \sec^{2}(u),\bigl(x,dx\bigr)
\int \sec^{2}(u),\frac{du}{2}
\frac12 \int \sec^{2}(u),du.
]
]
Agora usamos a antiderivada conhecida:
Então a gente tem
Pra voltar pro
, lembramos que
.