Resolver o seguinte sistema pelo método da Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial:
lx1+2 x2+x3=3 2 x1+x2-x3=0 3 x1-2 x2-x3=-2

Passo 1

Beleza, a gente tem o seguinte sistema de 3 equações e 3 incógnitas:
O conteúdo é Álgebra Linear, especificamente o método da Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial.
Para resolver, precisamos montar a matriz aumentada, escolher pivôs (com pivotagem parcial, ou seja, trocando linhas pra ter o maior valor absoluto na coluna), aplicar operações de linha pra zerar abaixo dos pivôs e depois fazer substituição regressiva.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz aumentada [ccc|c 1 & 2 & 1 & 3 2 & 1 & -1 & 0 3 & -2 & -1 & -2 ] :
[ccc|c 3 & -2 & -1 & -2 2 & 1 & -1 & 0 1 & 2 & 1 & 3 ]
Na coluna 1, entre as filas 1–3, o maior valor absoluto é (na linha 3). Então, a gente troca a linha 1 com a linha 3 (pivoteamento parcial):

Passo 3

Agora eliminamos os termos abaixo do pivô (que é o L2 &: (2,1,-1mid0) - tfrac23(3,-2,-1mid-2) = (0,tfrac73,-tfrac13midtfrac43), L3 &: (1,2,1mid3) - tfrac13(3,-2,-1mid-2) = (0,tfrac83,tfrac43midtfrac113) na posição (1,1)).
Para zerar a coluna 1 em baixo, usamos multiplicadores:
  • [ccc|c 3 & -2 & -1 & -2 0 & tfrac73 & -tfrac13 & tfrac43 0 & tfrac83 & tfrac43 & tfrac113 ] , fazemos .
  • , fazemos .
Aplicando:
A matriz fica

Passo 4

Agora pivotamos na coluna 2, entre linhas 2 e 3. Comparamos [ccc|c 3 & -2 & -1 & -2 0 & tfrac83 & tfrac43 & tfrac113 0 & tfrac73 & -tfrac13 & tfrac43 ] e m32 = tfrac73tfrac83 = 78, L3 L3 - m32,L2 . O maior é L3 = l(0,0,-tfrac32mid -tfrac158r) (linha 3), então trocamos L2↔L3:
[ccc|c 3 & -2 & -1 & -2 0 & tfrac83 & tfrac43 & tfrac113 0 & 0 & -tfrac32 & -tfrac158 ]
Eliminamos abaixo do pivô na coluna 2 com
Isso dá
Agora a matriz está triangular superior:

Passo 5

Fazendo substituição regressiva pra achar -tfrac32,x3 = -tfrac158 Longrightarrow x3 = -tfrac158-tfrac32 = -158cdot-23 = 3024 = tfrac54 :
  1. Da terceira linha:
tfrac83,x2 + tfrac43,x3 = tfrac113 ;Longrightarrow; 8x2 + 4x3 = 11 ;Longrightarrow; 8x2 + 4!times!tfrac54 = 11 ;Longrightarrow; 8x2 + 5 = 11 ;Longrightarrow; x2 = tfrac68 = tfrac34
  1. Da segunda linha:
3x1 - 2x2 - x3 = -2 ;Longrightarrow; 3x1 - 2!times!tfrac34 - tfrac54 = -2 ;Longrightarrow; 3x1 - tfrac32 - tfrac54 = -2 ;Longrightarrow; 3x1 = -2 + tfrac32 + tfrac54 = -tfrac84 + tfrac64 + tfrac54 = tfrac34 ;Longrightarrow; x1 = tfrac14
  1. Da primeira linha:

Resposta

boxedx1 = tfrac14, x2 = tfrac34, x3 = tfrac54

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