Estime
utilizando Simpson
com
.
Passo 1
O que o enunciado pede: estimar
usando a regra de Simpson
composta com
.
Informações dadas:
Passo 2
Relembrando a regra de Simpson
composta (explicação didática):
A ideia é aproximar a integral em dividindo o intervalo em
subintervalos de mesmo comprimento
(onde
deve ser par) e aplicar a fórmula
A ideia é aproximar a integral em
Aqui
e
para
.
Por que funciona (intuitivo): Simpson combina aproximações por polinômios de grau até 3 em cada par de subintervalos, por isso costuma ser bastante preciso para funções suaves.
Por que funciona (intuitivo): Simpson combina aproximações por polinômios de grau até 3 em cada par de subintervalos, por isso costuma ser bastante preciso para funções suaves.
Passo 3
Calcular
e os nós:
Os nós são
. Então
Passo 4
Avaliar
(sempre uso formas radicais exatas quando possível):
Passo 5
Separar as somas pedidas pela fórmula de Simpson:
Ímpares: então
Ímpares:
Pares (exceto extremos):
então
Passo 6
Aplicar a fórmula de Simpson:
Substituindo
e os valores:
O que está dentro do colchete é
Simplificando termos com denominador
:
Passo 7
Calcular numericamente a aproximação (passo a passo, sem pular contas):
Valores aproximados das raízes:
Valores aproximados das raízes:
Calcular cada termo:
Somando tudo dentro do colchete:
Multiplicando por
:
Passo 8
Comparação com o valor exato (para você entender a qualidade da aproximação):
A integral exata pode ser calculada por primitiva:
A integral exata pode ser calculada por primitiva:
Logo
Erro absoluto da aproximação de Simpson:
isto é cerca de
. Nada mal para
!