Estime \int_{0}^{2} \sqrt{x} d x utilizando Simpson 1 / 3 com n=6.

Passo 1

O que o enunciado pede: estimar \displaystyle \int_{0}^{2} \sqrt{x}\,dx usando a regra de Simpson 1/3 composta com n=6.
Informações dadas:
a=0,\qquad b=2,\qquad f(x)=\sqrt{x},\qquad n=6.

Passo 2

Relembrando a regra de Simpson 1/3 composta (explicação didática):
A ideia é aproximar a integral em [a,b] dividindo o intervalo em n subintervalos de mesmo comprimento h (onde n deve ser par) e aplicar a fórmula
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[f(x_0)+f(x_n)+4\sum_{\text{índices ímpares}} f(x_i) + 2\sum_{\text{índices pares (exc. extremos)}} f(x_i)\right].ííí
Aqui h=\dfrac{b-a}{n} e x_i=a+i h para i=0,1,\dots,n.
Por que funciona (intuitivo): Simpson combina aproximações por polinômios de grau até 3 em cada par de subintervalos, por isso costuma ser bastante preciso para funções suaves.

Passo 3

Calcular h e os nós:
h=\frac{b-a}{n}=\frac{2-0}{6}=\frac{1}{3}.
Os nós são x_i=0+i\cdot\frac{1}{3}. Então
\begin{aligned} x_0&=0,\\\ x_1&=\tfrac{1}{3},\\\ x_2&=\tfrac{2}{3},\\\ x_3&=1,\\\ x_4&=\tfrac{4}{3},\\\ x_5&=\tfrac{5}{3},\\\ x_6&=2. \end{aligned}

Passo 4

Avaliar f(x_i)=\sqrt{x_i} (sempre uso formas radicais exatas quando possível):
\begin{aligned} f(x_0)&=\sqrt{0}=0,\\\ f(x_1)&=\sqrt{\tfrac{1}{3}}=\tfrac{\sqrt{3}}{3},\\\ f(x_2)&=\sqrt{\tfrac{2}{3}}=\tfrac{\sqrt{6}}{3},\\\ f(x_3)&=\sqrt{1}=1,\\\ f(x_4&)=\sqrt{\tfrac{4}{3}}=\tfrac{2\sqrt{3}}{3},\\\ f(x_5)&=\sqrt{\tfrac{5}{3}}=\tfrac{\sqrt{15}}{3},\\\ f(x_6)&=\sqrt{2} . \end{aligned}

Passo 5

Separar as somas pedidas pela fórmula de Simpson:
Ímpares: i=1,3,5 então
\sum_{\text{ímpares}} f(x_i)=f(x_1)+f(x_3)+f(x_5)=\tfrac{\sqrt{3}}{3}+1+\tfrac{\sqrt{15}}{3}=1+\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{3}.í
Pares (exceto extremos): i=2,4 então
\sum_{\text{pares}} f(x_i)=f(x_2)+f(x_4)=\tfrac{\sqrt{6}}{3}+\tfrac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{6}+2\sqrt{3}}{3}.

Passo 6

Aplicar a fórmula de Simpson:
\int_{0}^{2}\sqrt{x}\,dx \approx \frac{h}{3}\Big[f(x_0)+f(x_6)+4\sum_{\text{ímpares}} f(x_i)+2\sum_{\text{pares}} f(x_i)\Big].í
Substituindo h=\tfrac{1}{3} e os valores:
\frac{h}{3}=\frac{1/3}{3}=\frac{1}{9}.
O que está dentro do colchete é
\begin{aligned} &f(x_0)+f(x_6)+4\sum_{\text{ímpares}} f(x_i)+2\sum_{\text{pares}} f(x_i)\\[4pt] &=\sqrt{2}+4\!\left(1+\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{3}\right)+2\!\left(\frac{\sqrt{6}+2\sqrt{3}}{3}\right). \end{aligned}í
Simplificando termos com denominador 3:
\begin{aligned} &=4+\sqrt{2}+\frac{4(\sqrt{3}+\sqrt{15})}{3}+\frac{2(\sqrt{6}+2\sqrt{3})}{3}\\[4pt] &=4+\sqrt{2}+\frac{8\sqrt{3}}{3}+\frac{4\sqrt{15}}{3}+\frac{2\sqrt{6}}{3}. \end{aligned}]

Passo 7

Calcular numericamente a aproximação (passo a passo, sem pular contas):
Valores aproximados das raízes:
\begin{aligned} \sqrt{2}&\approx 1{,}41421356,\\\ \sqrt{3}&\approx 1{,}73205081,\\\ \sqrt{6}&\approx 2{,}44948974,\\\ \sqrt{15}&\approx 3{,}87298335. \end{aligned}
Calcular cada termo:
\frac{8\sqrt{3}}{3}\approx \frac{8\cdot1{,}73205081}{3}\approx 4{,}61880217,
\frac{4\sqrt{15}}{3}\approx \frac{4\cdot3{,}87298335}{3}\approx 5{,}16397779,
\frac{2\sqrt{6}}{3}\approx \frac{2\cdot2{,}44948974}{3}\approx 1{,}63299316.
Somando tudo dentro do colchete:
4+\sqrt{2}+\frac{8\sqrt{3}}{3}+\frac{4\sqrt{15}}{3}+\frac{2\sqrt{6}}{3}\approx 4+1{,}41421356+4{,}61880217+5{,}16397779+1{,}63299316
\approx 16{,}82998668.
Multiplicando por \dfrac{1}{9}:
\text{Aproximação de Simpson} \approx \frac{16{,}82998668}{9}\approx 1{,}87099852.çã

Passo 8

Comparação com o valor exato (para você entender a qualidade da aproximação):
A integral exata pode ser calculada por primitiva:
\int \sqrt{x}\,dx=\int x^{1/2}dx=\frac{2}{3}x^{3/2}+C.
Logo
\int_{0}^{2}\sqrt{x}\,dx=\frac{2}{3}\,2^{3/2}=\frac{4\sqrt{2}}{3}\approx 1{,}88561808.
Erro absoluto da aproximação de Simpson:
\text{erro}\approx 1{,}88561808-1{,}87099852\approx 0{,}01461956,
isto é cerca de 1{,}46\times 10^{-2}. Nada mal para n=6!

Resposta

1{,}87099852

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