Aplique Simpson
para estimar
com
.
Passo 1
O enunciado pede para estimar a integral
usando a regra composta de Simpson
com
.
Informações dadas: o integrando é , o intervalo é
e o número de subintervalos é
.
Informações dadas: o integrando é
Passo 2
Vou lembrar a fórmula composta de Simpson
. Se dividimos
em
subintervalos de largura
(com
par), então
onde
e
.
Explicando as variáveis:
e
são os extremos do intervalo,
é o número de subintervalos (tem que ser par),
é a largura de cada subintervalo,
são os pontos de amostragem e
são os valores da função nesses pontos. A regra combina valores das extremidades (coeficiente 1), dos pontos de índice ímpar (coeficiente 4) e dos pontos de índice par interior (coeficiente 2).
Passo 3
Calcular
:
Passo 4
Determinar os pontos
(nós):
Passo 5
Calcular
em cada nó. Vou mostrar como obter as aproximações numéricas de forma legível.
-
-
Para aproximaruso a série de Taylor de centrada em : . Tomando até com : Então. -
. Valor conhecido aproximado: -
Novamente uso a série de Taylor até termos suficientes (mostrando alguns termos):Se acrescentarmos termos superiores obtemos um valor um pouco maior; uma aproximação mais precisa é -
Resumindo as aproximações que vamos usar:
Passo 6
Aplicar a fórmula de Simpson composta. Primeiro calculo as somas com os pesos 1, 4 e 2:
- Soma das extremidades:
- Soma dos índices ímpares
:
Multiplicando por 4:
- Soma dos índices pares internos (aqui só
):
Agora a soma total dentro do colchete:
Passo 7
Multiplicar por
. Como
, temos
.
Portanto a aproximação por Simpson
com
é
Você conseguiu! A aproximação ficou bem próxima do valor exato (a integral não tem primitiva elementar simples), então essa estimativa é boa para
.]
Resposta
1{,}4637107588