Aplique Simpson 1 / 3 para estimar \int_{0}^{1} e^{x^{2}} d x com n=4.

Passo 1

O enunciado pede para estimar a integral \displaystyle \int_{0}^{1} e^{x^{2}}\,dx usando a regra composta de Simpson 1/3 com n=4.
Informações dadas: o integrando é f(x)=e^{x^{2}}, o intervalo é [0,1] e o número de subintervalos é n=4.

Passo 2

Vou lembrar a fórmula composta de Simpson 1/3. Se dividimos [a,b] em n subintervalos de largura h (com n par), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Big(f(x_{0})+f(x_{n}) + 4\sum_{i\\ \text{ímpar}} f(x_{i}) + 2\sum_{i\\ \text{par},\,i\neq0,n} f(x_{i})\Big),í
onde x_{i}=a+i h e h=\dfrac{b-a}{n}.
Explicando as variáveis: a e b são os extremos do intervalo, n é o número de subintervalos (tem que ser par), h é a largura de cada subintervalo, x_{i} são os pontos de amostragem e f(x_{i}) são os valores da função nesses pontos. A regra combina valores das extremidades (coeficiente 1), dos pontos de índice ímpar (coeficiente 4) e dos pontos de índice par interior (coeficiente 2).

Passo 3

Calcular h:
h=\frac{b-a}{n}=\frac{1-0}{4}=\frac{1}{4}=0{,}25.

Passo 4

Determinar os pontos x_{i} (nós):
x_{0}=0,\quad x_{1}=0{,}25,\quad x_{2}=0{,}5,\quad x_{3}=0{,}75,\quad x_{4}=1.

Passo 5

Calcular f(x_{i})=e^{x_{i}^{2}} em cada nó. Vou mostrar como obter as aproximações numéricas de forma legível.
  • f(x_{0})=f(0)=e^{0^{2}}=e^{0}=1.
  • f(x_{1})=f(0{,}25)=e^{(0{,}25)^{2}}=e^{0{,}0625}=e^{1/16}.
    Para aproximar e^{0{,}0625} uso a série de Taylor de e^{t} centrada em 0: e^{t}\approx 1+t+\dfrac{t^{2}}{2}+\dfrac{t^{3}}{6}+\dfrac{t^{4}}{24}+\cdots. Tomando até t^{4} com t=0{,}0625:
    \begin{aligned} e^{0{,}0625}&\approx 1+0{,}0625+\frac{0{,}0625^{2}}{2}+\frac{0{,}0625^{3}}{6}+\frac{0{,}0625^{4}}{24}\\[4pt] &=1+0{,}0625+0{,}001953125+0{,}0000406901+0{,}0000006358\\[4pt] &\approx 1{,}064494451. \end{aligned}
    Então f(0{,}25)\approx 1{,}064494451.
  • f(x_{2})=f(0{,}5)=e^{(0{,}5)^{2}}=e^{0{,}25}=e^{1/4}. Valor conhecido aproximado:
    f(0{,}5)=e^{0{,}25}\approx 1{,}284025417.
  • f(x_{3})=f(0{,}75)=e^{(0{,}75)^{2}}=e^{0{,}5625}=e^{9/16}.
    Novamente uso a série de Taylor até termos suficientes (mostrando alguns termos):
    \begin{aligned} e^{0{,}5625}&\approx 1+0{,}5625+\frac{0{,}5625^{2}}{2}+\frac{0{,}5625^{3}}{6}+\frac{0{,}5625^{4}}{24}+\frac{0{,}5625^{5}}{120}\\[4pt] &=1+0{,}5625+0{,}158203125+0{,}0296630859+0{,}00417137146+0{,}00047267278\\[4pt] &\approx 1{,}755010255. \end{aligned}
    Se acrescentarmos termos superiores obtemos um valor um pouco maior; uma aproximação mais precisa é
    f(0{,}75)=e^{0{,}5625}\approx 1{,}75505466.
  • f(x_{4})=f(1)=e^{1}=e\approx 2{,}718281828.
Resumindo as aproximações que vamos usar:
\begin{aligned} f(x_{0})&\approx 1{,}000000000,\\\ f(x_{1})&\approx 1{,}064494451,\\\ f(x_{2})&\approx 1{,}284025417,\\\ f(x_{3})&\approx 1{,}755054660,\\\ f(x_{4})&\approx 2{,}718281828. \end{aligned}]

Passo 6

Aplicar a fórmula de Simpson composta. Primeiro calculo as somas com os pesos 1, 4 e 2:
  • Soma das extremidades:
f(x_{0})+f(x_{4}) \approx 1{,}000000000 + 2{,}718281828 = 3{,}718281828.
  • Soma dos índices ímpares i=1,3:
f(x_{1})+f(x_{3}) \approx 1{,}064494451 + 1{,}755054660 = 2{,}819549111.
Multiplicando por 4:
4\big(f(x_{1})+f(x_{3})\big) \approx 4\cdot 2{,}819549111 = 11{,}278196444.
  • Soma dos índices pares internos (aqui só i=2):
2\cdot f(x_{2}) \approx 2\cdot 1{,}284025417 = 2{,}568050834.
Agora a soma total dentro do colchete:
\begin{aligned} S &= \big(f(x_{0})+f(x_{4})\big) + 4\big(f(x_{1})+f(x_{3})\big) + 2 f(x_{2})\\[4pt] &\approx 3{,}718281828 + 11{,}278196444 + 2{,}568050834 = 17{,}564529106. \end{aligned}]

Passo 7

Multiplicar por h/3. Como h=1/4, temos h/3=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{12}.
Portanto a aproximação por Simpson 1/3 com n=4 é
\begin{aligned} \int_{0}^{1} e^{x^{2}}\,dx &\approx \frac{h}{3}\,S = \frac{1}{12}\cdot 17{,}564529106\\[4pt] &\approx 1{,}4637107588. \end{aligned}
Você conseguiu! A aproximação ficou bem próxima do valor exato (a integral não tem primitiva elementar simples), então essa estimativa é boa para n=4.]

Resposta

1{,}4637107588

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