Calcule a integral
utilizando a fórmula da quadratura de Gauss com
pontos.
(a) Escreva a integral no intervalo padrão
utilizando uma mudança de variável adequada e mostre que essa transformação leva à seguinte forma:
(b) Aplique a quadratura de Gauss
pontos para aproximar o valor da integral.
Dica: Use os nós e pesos padrão para
:
(a) Escreva a integral no intervalo padrão
Dica: Use os nós e pesos padrão para
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a integral
usando a quadratura de Gauss com
. Para isso, primeiro vamos (a) transformar o intervalo
em
e mostrar que
e em seguida (b) aplicar a fórmula de Gauss com nós
e pesos
.
Passo 2
Transformação de variável. Definimos
o que mapeia
em
. Logo
Substituindo na integral, obtemos
Passo 3
Aplicação da quadratura de Gauss com
. Para
, a regra é
pois
. Logo
Passo 4
Cálculo numérico. Denotando
temos
Portanto a soma dos valores em
e
dá
e multiplicando por
obtemos
Resposta
A aproximação da integral
pelo método de Gauss com
é aproximadamente