Calcule a integral
\int_{1}^{1,5} e^{-x^{2}} d x
utilizando a fórmula da quadratura de Gauss com n=2 pontos.
(a) Escreva a integral no intervalo padrão [-1,1] utilizando uma mudança de variável adequada e mostre que essa transformação leva à seguinte forma:
\int_{1}^{1,5} e^{-x^{2}} d x=\frac{1}{4} \int_{-1}^{1} e^{-\left(\frac{t+5}{4}\right)^{2}} d t
(b) Aplique a quadratura de Gauss \operatorname{com} n=2 pontos para aproximar o valor da integral.
Dica: Use os nós e pesos padrão para n=2 :
t_{1}=-\frac{1}{\sqrt{3}}, \quad t_{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}, \quad w_{1}=w_{2}=1

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
\int_{1}^{1,5} e^{-x^{2}}\;dx
usando a quadratura de Gauss com n=2. Para isso, primeiro vamos (a) transformar o intervalo [1,1{,}5] em [-1,1] e mostrar que
\int_{1}^{1,5} e^{-x^{2}}\,dx =\tfrac14\int_{-1}^{1}e^{-\bigl(\tfrac{t+5}{4}\bigr)^{2}}\,dt,
e em seguida (b) aplicar a fórmula de Gauss com nós t_{1,2}=\pm1/\sqrt{3} e pesos w_{1}=w_{2}=1.

Passo 2

Transformação de variável. Definimos
x = \frac{1{,}5 + 1}{2} \;+\;\frac{1{,}5 - 1}{2}\,t =1{,}25 \;+\;0{,}25\,t,
o que mapeia t\in[-1,1] em x\in[1,1{,}5]. Logo
dx = 0{,}25\,dt \quad\text{e}\quad x = \frac{t+5}{4}.
Substituindo na integral, obtemos
\int_{1}^{1,5} e^{-x^{2}}\,dx =\int_{-1}^{1} e^{-\bigl(1{,}25+0{,}25\,t\bigr)^{2}}\;0{,}25\,dt =\frac14\int_{-1}^{1}e^{-\bigl(\tfrac{t+5}{4}\bigr)^{2}}\,dt.

Passo 3

Aplicação da quadratura de Gauss com n=2. Para g(t)=e^{-\bigl(\frac{t+5}{4}\bigr)^{2}}, a regra é
\int_{-1}^{1}g(t)\,dt \approx \sum_{i=1}^{2}w_{i}\,g(t_{i}) = g\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr) + g\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\Bigr),
pois w_{1}=w_{2}=1. Logo
\int_{1}^{1,5} e^{-x^{2}}\,dx \approx \tfrac14\Bigl[ e^{-\bigl(\tfrac{-1/\sqrt{3}+5}{4}\bigr)^{2}} +e^{-\bigl(\tfrac{\,1/\sqrt{3}+5}{4}\bigr)^{2}} \Bigr].

Passo 4

Cálculo numérico. Denotando
t_{1}=-\tfrac{1}{\sqrt{3}},\; x_{1}=\tfrac{t_{1}+5}{4}\approx1{,}1057, \quad t_{2}=\tfrac{1}{\sqrt{3}},\; x_{2}=\tfrac{t_{2}+5}{4}\approx1{,}3943,
temos
e^{-x_{1}^{2}}\approx e^{-1{,}223}\approx0{,}2946, \quad e^{-x_{2}^{2}}\approx e^{-1{,}944}\approx0{,}1434.
Portanto a soma dos valores em t_{1} e t_{2}
0{,}2946 + 0{,}1434 = 0{,}4380,
e multiplicando por \tfrac14 obtemos
\frac{0{,}4380}{4}\approx0{,}1095.

Resposta

A aproximação da integral \displaystyle\int_{1}^{1,5}e^{-x^{2}}\,dx pelo método de Gauss com n=2 é aproximadamente
0{,}1095.

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