Determine uma fórmula de quadratura do tipo
\int_{0}^{1} f(x) d x \approx a f\left(\frac{1}{4}\right)+b f\left(\frac{1}{2}\right)+c f(1)
que seja exata para todo polinômio de grau menor ou igual a 2. Encontre os coeficientes a, b e c.

Passo 1

O enunciado pede uma fórmula de quadratura da forma
\int_{0}^{1}f(x)\,dx \approx a\,f\!\Bigl(\tfrac14\Bigr) + b\,f\!\Bigl(\tfrac12\Bigr) + c\,f(1)
que seja exata para todo polinômio de grau \le2. Vamos usar o método de momentos, impondo exatidão para f(x)=1, f(x)=x e f(x)=x^2.

Passo 2

Para f(x)=1 temos
\int_{0}^{1}1\,dx = 1 \quad\Longrightarrow\quad a + b + c = 1.
Para f(x)=x temos
\int_{0}^{1}x\,dx = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad a\cdot\tfrac14 + b\cdot\tfrac12 + c\cdot1 = \tfrac12.
Para f(x)=x^2 temos
\int_{0}^{1}x^2\,dx = \tfrac13 \quad\Longrightarrow\quad a\cdot\bigl(\tfrac14\bigr)^2 + b\cdot\bigl(\tfrac12\bigr)^2 + c\cdot1^2 = \tfrac13.

Passo 3

Escrevendo o sistema
\begin{cases} a + b + c = 1,\\\ \tfrac14\,a + \tfrac12\,b + c = \tfrac12,\\\ \tfrac1{16}\,a + \tfrac14\,b + c = \tfrac13, \end{cases}
subtraímos a segunda equação da terceira:
\Bigl(\tfrac14-\tfrac1{16}\Bigr)a + \Bigl(\tfrac12-\tfrac14\Bigr)b = \tfrac12 - \tfrac13 \;\Longrightarrow\; \tfrac3{16}a + \tfrac14b = \tfrac16 \;\Longrightarrow\; 3a + 4b = \tfrac83.
Também da subtração da primeira da segunda:
\Bigl(\tfrac14-1\Bigr)a + \Bigl(\tfrac12-1\Bigr)b = \tfrac12 - 1 \;\Longrightarrow\; -\tfrac34a - \tfrac12b = -\tfrac12 \;\Longrightarrow\; 3a + 2b = 2.
Resolvendo
\begin{cases} 3a + 2b = 2,\\\\ 3a + 4b = \tfrac83, \end{cases}
temos 2b = \tfrac23, logo b = \tfrac13. Então
3a + 2\cdot\tfrac13 = 2 \;\Longrightarrow\; 3a = \tfrac43 \;\Longrightarrow\; a = \tfrac49.
Por fim c = 1 - a - b = 1 - \tfrac49 - \tfrac13 = \tfrac29.

Passo 4

A fórmula de quadratura exata para polinômios até grau 2 é
\int_{0}^{1}f(x)\,dx \approx \frac{4}{9}\,f\!\Bigl(\tfrac14\Bigr) + \frac{1}{3}\,f\!\Bigl(\tfrac12\Bigr) + \frac{2}{9}\,f(1).

Resposta

a = \tfrac{4}{9}, b = \tfrac{1}{3}, c = \tfrac{2}{9}.

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