Dada a função tabelada:
x 1 2 3 5
f(x) 2.0 3.0 7.0 4.0
Utilize uma spline linear interpolante para calcular uma aproximação da integral:
\int_{1}^{5} f(x) d x

Passo 1

O enunciado nos dá os valores de f em quatro pontos
\begin{array}{c|cccc} x & 1 & 2 & 3 & 5\\hline f(x) & 2.0 & 3.0 & 7.0 & 4.0 \end{array}
e pede \displaystyle\int_{1}^{5}f(x)\,\mathrm{d}x usando spline linear. Isso equivale a interpolar f por retas entre cada par de pontos consecutivos e somar as áreas dos trapézios formados.

Passo 2

No intervalo [1,2], a área do trapézio é
A_{12} = \frac{f(1)+f(2)}{2}\,(2-1) = \frac{2.0+3.0}{2}\cdot1 = 2.5.

Passo 3

No intervalo [2,3], a área do trapézio é
A_{23} = \frac{f(2)+f(3)}{2}\,(3-2) = \frac{3.0+7.0}{2}\cdot1 = 5.0.

Passo 4

No intervalo [3,5], a área do trapézio é
A_{35} = \frac{f(3)+f(5)}{2}\,(5-3) = \frac{7.0+4.0}{2}\cdot2 = 11.0.

Passo 5

Somando as três áreas de trapézio, obtemos
\int_{1}^{5}f(x)\,\mathrm{d}x \approx A_{12}+A_{23}+A_{35} = 2.5 + 5.0 + 11.0 = 18.5.

Resposta

\displaystyle\int_{1}^{5}f(x)\,\mathrm{d}x \approx 18.5

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