Calcule as integrais definidas abaixo utilizando:
  • a regra do trapézio;
  • a regra de Simpson 1 / 3;
  • a regra de Simpson 3/8.
Utilize 6 e 10 subdivisões do intervalo de integração em cada caso e compare os resultados obtidos. Decida em que casos pode ou nao pode usar cada uma das regras.
(a) \int_{1}^{2,5} x \ln x d x
(b) \int_{-1,5}^{0} x e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar duas integrais definidas
I_a = \int_{1}^{2{,}5} x\ln x \,\mathrm{d}x \quad\text{e}\quad I_b = \int_{-1{,}5}^{0} x e^{x}\,\mathrm{d}x
pelas regras compostas do trapézio, de Simpson 1/3 e de Simpson 3/8, usando n=6 e n=10 subintervalos. Também devemos verificar quando cada regra é aplicável (trapézio não tem restrição em n; Simpson 1/3 exige n par; Simpson 3/8 exige n múltiplo de 3) e comparar resultados entre si (e com o valor exato, para termos noção do erro).

Passo 2

As fórmulas compostas são:
– Regra do trapézio com n subintervalos de largura h=(b-a)/n:
T_n = \frac{h}{2}\bigl[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\bigr].
– Regra de Simpson 1/3 (exige n par):
S_{1/3,n} = \frac{h}{3}\Bigl[f(x_0)+4\sum_{\substack{i=1\i\text{ ímpar}}}^{n-1}f(x_i) +2\sum_{\substack{i=2\i\text{ par}}}^{n-2}f(x_i)+f(x_n)\Bigr].
– Regra de Simpson 3/8 (exige n múltiplo de 3):
S_{3/8,n} = \frac{3h}{8}\Bigl[f(x_0) +3\sum_{i\not\equiv0\;(\mathrm{mod}\,3)}f(x_i) +2\sum_{i\equiv0\;(\mathrm{mod}\,3),\,1\le i\le n-1}f(x_i) +f(x_n)\Bigr].

Passo 3

Cálculo exato da integral I_a: por partes, com u=\ln x, \mathrm{d}v=x\,\mathrm{d}x, obtém-se
\int x\ln x\,\mathrm{d}x =\frac{x^2}{2}\ln x-\int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x =\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C
e, avaliando de 1 a 2{,}5,
I_a =\Bigl[\tfrac{x^2}{2}\ln x-\tfrac{x^2}{4}\Bigr]_{1}^{2{,}5} =3{,}125\ln(2{,}5)-1{,}5625-(-0{,}25) \approx1{,}5509.

Passo 4

Aproximações para I_a com n=6. Aqui h=(2{,}5-1)/6=0{,}25. Denotando x_i=1+0{,}25\,i e f(x)=x\ln x, computa-se:
– Trapézio T_6\approx1{,}5557.
– Simpson 1/3 \;S_{1/3,6}\approx1{,}55093.
– Simpson 3/8 \;S_{3/8,6}\approx1{,}55123.
Repare que Simpson 1/3 e 3/8 dão valores muito próximos ao exato.

Passo 5

Aproximações para I_a com n=10. Agora h=(2{,}5-1)/10=0{,}15. Apenas trapézio e Simpson 1/3 são válidos ( 10 não é múltiplo de 3):
– Trapézio T_{10}\approx1{,}5530.
– Simpson 1/3 \;S_{1/3,10}\approx1{,}55091.
– Simpson 3/8 não se aplica ( 10 não múltiplo de 3).
Comparando: à medida que n cresce, o trapézio melhora, mas Simpson 1/3 já está praticamente exato até n=6.

Passo 6

Cálculo exato da integral I_b: por partes, com u=x, \mathrm{d}v=e^x\mathrm{d}x, obtém-se
\int x e^x\,\mathrm{d}x = x e^x - \int e^x\,\mathrm{d}x = e^x(x-1)+C
e, avaliando de -1{,}5 a 0,
I_b = \bigl[e^x(x-1)\bigr]_{-1.5}^{0} =-1 -\bigl(e^{-1.5}(-2.5)\bigr) \approx -0{,}442175.

Passo 7

Aproximações para I_b com n=6 h=0{,}25, x_i=-1{,}5+0{,}25\,i, f(x)=x e^x:
– Trapézio T_6\approx -0{,}43640.
– Simpson 1/3 \;S_{1/3,6}\approx -0{,}44212.
– Simpson 3/8 \;S_{3/8,6}\approx -0{,}44201.

Passo 8

Aproximações para I_b com n=10 h=0{,}15:
– Trapézio T_{10}\approx -0{,}44010.
– Simpson 1/3 \;S_{1/3,10}\approx -0{,}44217.
– Simpson 3/8 não se aplica ( n=10 não múltiplo de 3).

Resposta

Integral I_a=\int_{1}^{2.5}x\ln x\,\mathrm{d}x\approx1{,}5509 (exato)
– n =6: T_6=1{,}5557, S_{1/3,6}=1{,}55093, S_{3/8,6}=1{,}55123
– n =10: T_{10}=1{,}5530, S_{1/3,10}=1{,}55091, S_{3/8,10} inválido
Integral I_b=\int_{-1.5}^{0}x e^x\,\mathrm{d}x\approx-0{,}44218 (exato)
– n =6: T_6=-0{,}43640, S_{1/3,6}=-0{,}44212, S_{3/8,6}=-0{,}44201
– n =10: T_{10}=-0{,}44010, S_{1/3,10}=-0{,}44217, S_{3/8,10} inválido
Observações de aplicabilidade:
• Trapézio pode sempre ser usado.
• Simpson 1/3 exige n par (foi usado em n=6,10).
• Simpson 3/8 exige n múltiplo de 3 (só foi usado em n=6, mas não em n=10).

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