Calcule as integrais definidas abaixo utilizando:
- a regra do trapézio;
- a regra de Simpson
;
- a regra de Simpson 3/8.
Utilize 6 e 10 subdivisões do intervalo de integração em cada caso e compare os resultados obtidos. Decida em que casos pode ou nao pode usar cada uma das regras.
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para aproximar duas integrais definidas
pelas regras compostas do trapézio, de Simpson
e de Simpson
, usando
e
subintervalos. Também devemos verificar quando cada regra é aplicável (trapézio não tem restrição em
; Simpson
exige
par; Simpson
exige
múltiplo de 3) e comparar resultados entre si (e com o valor exato, para termos noção do erro).
Passo 2
As fórmulas compostas são:
– Regra do trapézio com subintervalos de largura
:
– Regra do trapézio com
– Regra de Simpson
(exige
par):
– Regra de Simpson
(exige
múltiplo de 3):
Passo 3
Cálculo exato da integral
: por partes, com
,
, obtém-se
e, avaliando de
a
,
Passo 4
Aproximações para
com
. Aqui
. Denotando
e
, computa-se:
– Trapézio
.
– Simpson .
– Simpson .
– Simpson
– Simpson
Repare que Simpson
e
dão valores muito próximos ao exato.
Passo 5
Aproximações para
com
. Agora
. Apenas trapézio e Simpson
são válidos (
não é múltiplo de 3):
– Trapézio
.
– Simpson .
– Simpson não se aplica (
não múltiplo de 3).
– Simpson
– Simpson
Comparando: à medida que
cresce, o trapézio melhora, mas Simpson
já está praticamente exato até
.
Passo 6
Cálculo exato da integral
: por partes, com
,
, obtém-se
e, avaliando de
a
,
Passo 7
Aproximações para
com
,
,
:
– Trapézio
.
– Simpson .
– Simpson .
– Simpson
– Simpson
Passo 8
Aproximações para
com
:
– Trapézio
.
– Simpson .
– Simpson não se aplica (
não múltiplo de 3).
– Simpson
– Simpson
Resposta
Integral
(exato)
– n :
,
,
– n :
,
,
inválido
– n
– n
Integral
(exato)
– n :
,
,
– n :
,
,
inválido
– n
– n
Observações de aplicabilidade:
• Trapézio pode sempre ser usado.
• Simpson exige
par (foi usado em
).
• Simpson exige
múltiplo de 3 (só foi usado em
, mas não em
).
• Trapézio pode sempre ser usado.
• Simpson
• Simpson