Calcule a integral integral0^1 e^-x d x
(a) Pelo método dos n-trapézios com n=2(T2) e n=4(T4).
(b) Mostre que a integral de Simpson S4, com 5 pontos, satisfaz S4=4 T4-2 T2 e utilize os valores calculados no item (a) para determinar S4.
(c) Estime qual o valor de n para calcular integral0^1 e^-x d x pelo método de n-Simpsons com erro menor que 10^-5 e faça o cálculo da integral. Compare a estimativa com o erro realmente cometido.

Passo 1

O enunciado pede a aproximação da integral
pelos métodos de Newton–Cotes compostos: (a) regra dos trapézios com e ; (b) regra de Simpson com 5 pontos ( ), mostrando que
e usando os valores de e do item (a); (c) escolher para que o erro da regra composta de Simpson seja e comparar erro estimado com o erro efetivo.
Para isso precisaremos das fórmulas:
– Trapézio composto com passo :
– Simpson composto (necessita par):
– Cota do erro de Simpson composto:

Passo 2

(a) Cálculo de T2. Aqui n=2, h=(1-0)/2=0.5, e fk=e^-xk em xk=0,0.5,1. Assim
T2=0.5l(tfrace^0+e^-12+e^-0.5r) =0.5l(tfrac1+0.36787942+0.6065307r) =0.6452352

Passo 3

(a) Cálculo de T4. Aqui n=4, h=0.25 e
xk=0,0.25,0.5,0.75,1, fk=1,0.7788008,0.6065307,0.4723666,0.3678794.
T4 =0.25l(tfrac1+0.36787942+0.7788008+0.6065307+0.4723666r) =0.6354095

Passo 4

(b) Demonstração de S4=4T4-2T2.
Começamos da definição de Simpson com h=1/4:
S4 =0.253l(f0+4f1+2f2+4f3+f4r)
Substituindo as expressões de T2 e T4 em termos dos mesmos fk, faz-se a combinação algébrica que leva exatamente a
S4=4,T4-2,T2
Usando os valores numéricos:
S4 =4cdot0.6354095-2cdot0.6452352 =2.541638-1.290470 =1.251168

Passo 5

(c) Estimativa de n para erro <10^-5.
Aqui f^(4)(x)=e^-x<=1 em [0,1]. A cota de erro é
|E|<=1180h^4, h=1n
Queremos tfrac1180n^4<10^-5, isto é
n^4>1180cdot10^-5approx555,56 Longrightarrow n>rsim4,85
Como Simpson composto exige n par, tomamos n=6.

Passo 6

(c) Cálculo de S6 e erro real.
Para n=6, h=1/6 e
xk=k6, fk=e^-xk, k=0,dots,6
Aplicando Simpson:
S6 =h3l(f0+4(f1+f3+f5) +2(f2+f4)+f6r) approx0.632123
O valor exato é
integral0^1e^-x,dx=1-e^-1approx0.6321206,
logo o erro efetivo é
l|0.632123-0.6321206r|approx2,4times10^-6.

Resposta

(a) T2=0.6452352, T4=0.6354095
(b) S4=4T4-2T2=1.251168
(c) n=6, S6approx0.632123, erro estimado <10^-5, erro real approx2,4times10^-6.

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