Calcule a integral
(a) Pelo método dos -trapézios com e .
(b) Mostre que a integral de Simpson , com 5 pontos, satisfaz e utilize os valores calculados no item (a) para determinar .
(c) Estime qual o valor de para calcular pelo método de -Simpsons com erro menor que e faça o cálculo da integral. Compare a estimativa com o erro realmente cometido.
Passo 1
O enunciado pede a aproximação da integral
pelos métodos de Newton–Cotes compostos: (a) regra dos trapézios com e ; (b) regra de Simpson com 5 pontos (), mostrando que
e usando os valores de e do item (a); (c) escolher para que o erro da regra composta de Simpson seja e comparar erro estimado com o erro efetivo.
Para isso precisaremos das fórmulas:
– Trapézio composto com passo :
– Simpson composto (necessita par):
– Cota do erro de Simpson composto:
Passo 2
(a) Cálculo de . Aqui , , e em . Assim
Passo 3
(a) Cálculo de . Aqui , e , .
Passo 4
(b) Demonstração de .
Começamos da definição de Simpson com :
Substituindo as expressões de e em termos dos mesmos , faz-se a combinação algébrica que leva exatamente a
Usando os valores numéricos:
Passo 5
(c) Estimativa de para erro .
Aqui em . A cota de erro é