Considere a função f(t)=e^-t^2 / 2.
(a) Calcule integral0^1 f(t) d t pela regra dos Trapézios
T10=110(0.5 f(x0)+f(x1)+ldots+f(x9)+0.5 f(x10))
com n+1=11 pontos.
Estime o erro cometido ao aproximar a integral por T10.
(b) O valor de T10 é maior ou menor do que o valor exato da integral?
(c) Calcule a mesma integral utilizando a regra de Simpson com n+1=11 pontos.
(d) Determine um número de pontos suficiente para que o erro de integração da fórmula de Simpson seja inferior a 10^-8.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
I = integral0^1 e^-t^2/2,dt
usando a regra dos Trapézios com n=10 subintervalos (11 pontos), estimar o erro dessa aproximação, decidir se é sub- ou sobreestimação, depois repetir com a regra de Simpson (também com 11 pontos) e por fim determinar n suficiente para que o erro de Simpson fique abaixo de 10^-8. Vamos precisar das fórmulas de erro para Trapézios e Simpson, e das derivadas f'' e f^(4).

Passo 2

Para a regra dos Trapézios com passo h=tfrac1-010=0,1 temos
T10 = h2l(f(x0) + 2sumi=1^9f(xi) + f(x10)r) =0,12l(1 + 2sumi=1^9fl(i/10r) + e^-1/2r)
Calculando f(i/10)=expl(- (i/10)^2/2r) obtemos aproximadamente
sumi=1^9f(i/10)approx 7,747923, e^-1/2approx0,606531
Logo
T10 = 0,05l(1 + 2cdot7,747923 + 0,606531r) approx 0,8551188

Passo 3

A fórmula de erro do Trapézios satisfaz
|ET| <= (b-a)^312,n^2max[a,b]|f''(t)|,
com f(t)=e^-t^2/2 e
f''(t) = (t^2-1)e^-t^2/2
Em [0,1] o máximo de |f''(t)| ocorre em t=0, onde |f''(0)|=1. Assim
|ET| <= 1^312cdot10^2cdot1 = 11200approx8,33times10^-4

Passo 4

Como f''(t)=(t^2-1)e^-t^2/2<=0 em [0,1], a função é côncava para baixo e a regra dos Trapézios subestima. Logo
T10 < I

Passo 5

Para a regra de Simpson com mesmo n=10 (passo h=0,1) vale
S10 = h3l(f(x0) + 4sumi ímparf(xi) +2sumi par,,1<= i<=9f(xi) + f(x10)r) í
Das contas obtemos
sumi ímparf(i/10)approx4,283188í e
sumi parf(i/10)approx3,464735, de modo que
S10 = 0,13l(1 + 4cdot4,283188 + 2cdot3,464735 + 0,606531r) approx 0,8556251

Passo 6

O erro de Simpson satisfaz
|ES| <= (b-a)^5180,n^4max[a,b]|f^(4)(t)|
Calculamos
f^(4)(t) = l(3 -6t^2 + t^4r)e^-t^2/2,
cujo máximo absoluto em [0,1] é l|f^(4)(0)r|=3. Assim
|ES| <= 1^5180,n^4cdot3 = 160,n^4
Queremos 160,n^4 < 10^-8, i.e.
n^4 > 160cdot10^-8 approx1,67times10^6 Longrightarrow n > (1,67times10^6)^1/4approx35,9
Como Simpson exige n par, basta escolher n=36.

Resposta

(a) T10approx0,8551188, com erro estimado l|ETr|<=8,33times10^-4
(b) T10 é menor que o valor exato.
(c) S10approx0,8556251
(d) São necessários pelo menos n=36 subintervalos (37 pontos) para garantir erro abaixo de 10^-8.

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