Considere a função .
(a) Calcule pela regra dos Trapézios
com pontos.
Estime o erro cometido ao aproximar a integral por .
(b) O valor de é maior ou menor do que o valor exato da integral?
(c) Calcule a mesma integral utilizando a regra de Simpson com pontos.
(d) Determine um número de pontos suficiente para que o erro de integração da fórmula de Simpson seja inferior a .
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a integral
usando a regra dos Trapézios com subintervalos (11 pontos), estimar o erro dessa aproximação, decidir se é sub- ou sobreestimação, depois repetir com a regra de Simpson (também com 11 pontos) e por fim determinar suficiente para que o erro de Simpson fique abaixo de . Vamos precisar das fórmulas de erro para Trapézios e Simpson, e das derivadas e .
Passo 2
Para a regra dos Trapézios com passo temos
Calculando obtemos aproximadamente
Logo
Passo 3
A fórmula de erro do Trapézios satisfaz
com e
Em o máximo de ocorre em , onde . Assim
Passo 4
Como em , a função é côncava para baixo e a regra dos Trapézios subestima. Logo
Passo 5
Para a regra de Simpson com mesmo (passo ) vale
Das contas obtemos e , de modo que
Passo 6
O erro de Simpson satisfaz
Calculamos
cujo máximo absoluto em é . Assim
|ES| <= 1^5180,n^4cdot3 = 160,n^4
Queremos 160,n^4 < 10^-8, i.e.
n^4 > 160cdot10^-8 approx1,67times10^6 Longrightarrow n > (1,67times10^6)^1/4approx35,9
Como Simpson exige n par, basta escolher n=36.
Resposta
(a) T10approx0,8551188, com erro estimado l|ETr|<=8,33times10^-4
(b) T10 é menor que o valor exato.
(c) S10approx0,8556251
(d) São necessários pelo menos n=36 subintervalos (37 pontos) para garantir erro abaixo de 10^-8.