Da fórmula para calcular a área de um círculo e da equação da circunferência unitária, temos que pi4=integral0^1 raiz1-x^2 d x.
(a) Aproxime o valor de pi utilizando a regra dos n-trapézios para n=1,2,4 e 8 .
(b) Seja T(h) a aproximação da integral acima calculada com o método dos n-trapézios referente ao espaçamento h:=1 / n. O valor exato da integral é o limite de T(h) com h tendendo a zero. Podemos tentar estimar esse valor calculando-se o polinômio de grau 3 que interpola T(h) nos pontos h=1, h=0.5, h=0.25 e h=0.125 e avaliando esse polinômio no ponto h=0 como estimativa para a integral. Faça isso e compare o valor obtido com o valor de pi fornecido pela calculadora.
(c) Queremos calcular pi com erro inferior a 10^-3. Temos que as duas primeiras derivadas da função f(x)=raiz1-x^2 são
f^prime(x)=-xraiz1-x^2 e f^prime prime(x)=1raiz1-x^2-3 x^2(raiz1-x^2)^5 / 2
Observe que essas derivadas não estão definidas no ponto x=1 e não são limitadas no intervalo [0,1[, de modo que não podemos utilizar a fórmula do erro diretamente para estimar o valor de n necessário. Utilizando as simetrias do círculo, determine uma constante positiva C tal que
integral0^1 raiz1-x^2 d x=2 integral0^raiz22 raiz1-x^2 d x-C
e estime o valor necessário de n para calcular a integral integral0^raiz22 raiz1-x^2 d x pelo método dos n-trapézios com erro inferior a 10^-32.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
I=integral0^1raiz1-x^2,dx=pi4
e daí obter pi=4I por três métodos:
  • (a) regra dos n-trapézios com n=1,2,4,8,
  • (b) extrapolação polinomial de grau 3 em h=1/n até h=0,
  • (c) usar simetrias para escrever
integral0^1raiz1-x^2,dx =2integral0^raiz22raiz1-x^2,dx - C
e estimar n para erro <10^-3. Vamos precisar da fórmula do trapézio, interpolação de Newton e da estimativa de erro
|E|<=(b-a)h^212max[a,b]|f''(x)|,

Passo 2

Aplicando a regra dos trapézios em [0,1], h=1/n,
Tn=h2l(f(0)+2sumi=1^n-1f(ih)+f(1)r), f(x)=raiz1-x^2
Calcula-se
n=1: T1=tfrac12[1+0]=0,5; piapprox4cdot0,5=2,0000.
n=2: h=0,5,; T2=0,6830127; piapprox2,73205.
n=4: h=0,25,; T4=0,7489273; piapprox2,99571.
n=8: h=0,125,; T8=0,7724240; piapprox3,08970.

Passo 3

Para (b) tomamos os pares (h,Tn) em
(1,0,5),;(0,5,0,6830127),;(0,25,0,7489273),;(0,125,0,7724240)
e montamos as diferenças divididas de Newton até a ordem 3. Avaliando o polinômio em h=0 obtém-se
T(0)approx0,7884462
portanto
piapprox4cdot0,7884462=3,153785
que se compara com o valor exato piapprox3,141593.

Passo 4

Para (c), use-se a área do segmento de círculo de raio 1 até x=tfracraiz22. Sabe-se
A=integral0^raiz22raiz1-x^2,dx =12l(arcsinraiz22+raiz22raiz1-tfrac12r) =pi8+14
Como integral0^1f=pi4, segue
2A=pi4+12 Longrightarrow integral0^1f =2integral0^raiz22f - 12,
logo C=tfrac12.

Passo 5

Ainda em [0,tfracraiz22], a regra dos trapézios tem erro
|E|<=(b-a),h^212max[0,b]|f''(x)|, b=raiz22
Aqui
f''(x)=1raiz1-x^2-3x^2(1-x^2)^5/2,
em que o maior |f''| em [0,b] ocorre em x=b e vale aproximadamente 7,07. Assim
|E|<=b,h^212,7,07 =raiz2/2;cdot7,0712;h^2approx0,417,h^2
Para ter |E|<tfrac10^-32=5cdot10^-4, exige-se
h^2<5cdot10^-40,417approx0,0012 Longrightarrow h<0,0346
Como h=(b-0)/n=b/napprox0,7071/n, precisamos de
n>0,70710,0346approx20,4,
isto é, n>=21.

Resposta

(a) piapprox2,0000,;2,73205,;2,99571,;3,08970 para n=1,2,4,8.
(b) piapprox3,153785 pela extrapolação polinomial.
(c) C=tfrac12 e são necessários pelo menos n=21 trapézios em [0,tfracraiz22].

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