Da fórmula para calcular a área de um círculo e da equação da circunferência unitária, temos que
.
(a) Aproxime o valor de
utilizando a regra dos
-trapézios para
e 8 .
(b) Seja
a aproximação da integral acima calculada com o método dos
-trapézios referente ao espaçamento
. O valor exato da integral é o limite de
com
tendendo a zero. Podemos tentar estimar esse valor calculando-se o polinômio de grau 3 que interpola
nos pontos
e
e avaliando esse polinômio no ponto
como estimativa para a integral. Faça isso e compare o valor obtido com o valor de
fornecido pela calculadora.
(c) Queremos calcular
com erro inferior a
. Temos que as duas primeiras derivadas da função
são
Observe que essas derivadas não estão definidas no ponto
e não são limitadas no intervalo
, de modo que não podemos utilizar a fórmula do erro diretamente para estimar o valor de
necessário. Utilizando as simetrias do círculo, determine uma constante positiva
tal que
e estime o valor necessário de
para calcular a integral
pelo método dos
-trapézios com erro inferior a
.
(a) Aproxime o valor de
(b) Seja
(c) Queremos calcular
Passo 1
O enunciado pede para aproximar
e daí obter
por três métodos:
- (a) regra dos
-trapézios com , - (b) extrapolação polinomial de grau
em até , - (c) usar simetrias para escrever
e estimar
para erro
. Vamos precisar da fórmula do trapézio, interpolação de Newton e da estimativa de erro
Passo 2
Aplicando a regra dos trapézios em
,
,
Calcula-se
:
;
.
:
,;
;
.
:
,;
;
.
:
,;
;
.
Passo 3
Para (b) tomamos os pares
em
e montamos as diferenças divididas de Newton até a ordem
. Avaliando o polinômio em
obtém-se
portanto
que se compara com o valor exato
.
Passo 4
Para (c), use-se a área do segmento de círculo de raio
até
. Sabe-se
Como
, segue
logo
.
Passo 5
Ainda em
, a regra dos trapézios tem erro
Aqui
em que o maior
em
ocorre em
e vale aproximadamente
. Assim
Para ter
, exige-se
Como
, precisamos de
isto é,
.
Resposta
(a)
para
.
(b) pela extrapolação polinomial.
(c) e são necessários pelo menos
trapézios em
.
(b)
(c)