Calcule a integral:
integral0^pi2 integral0^sen(y) x cos (y) d x d y.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O exercício pede para calcular a integral dupla
Isso envolve conteúdo de integrais duplas e integração iterada (Teorema de Fubini). Para resolver, a gente vai:
  1. integrar em integral0^pi2 integral0^sen(y) x cos(y),dx,dy primeiro, tratando como constante;
  2. depois integrar o resultado em , usando uma substituição simples.

Passo 2

Integração em integral0^sen(y) x cos(y),dx = cos(y),integral0^sen(y) x,dx :
Como integral0^sen(y) x,dx = l[x^22r]0^sen(y) = sen^2(y)2 não depende de cos(y),sen^2(y)2 = sen^2(y),cos(y)2 , ela sai da integral em . Então
Agora, a gente sabe que
.
Aplicando os limites de a :
Logo, a integral interna vira

Passo 3

Integração em integral0^pi2 sen^2(y),cos(y)2,dy = 12 integral0^pi2 sen^2(y),cos(y),dy :
Agora precisamos calcular
Para resolver , usamos a substituição
Quando u = sen(y) Longrightarrow du = cos(y),dy vai de integral0^pi2 sen^2(y)cos(y),dy = integralu=0^u=1 u^2,du = l[tfracu^33r]0^1 = 1^33-0 = 13 a 12 times 13 = 16 , vai de a . Então:
Multiplicando pelo que estava fora:

Resposta

O valor da integral é .

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