A função f(x) é dada na forma tabulada a seguir. Compare com h=0,25 e h=0,5 usando:
O método trapezoidal composto.
x 0 0,25 0,5 0,75 1,0
f(x) 0,9162 0,8109 0,6931 0,5596 0,4055

Passo 1

Então, mano, o enunciado diz que a gente tem uma tabela com valores de f(x) de x=0 até x=1 em passos de 0,25. Precisamos aproximar a integral
integral0^1 f(x),dx
usando o método do trapézio composto (que é um assunto de Métodos Numéricos / Integração Numérica). Vamos precisar da fórmula da regra trapezoidal composta e dos valores da tabela.

Passo 2

Antes de partir para os números, bora entender a teoria:
Quando você divide o intervalo [a,b] em n subintervalos de largura h=(b-a)/n, o método trapezoidal composto aproxima a área por trapézios. A fórmula geral é
Tn ;=; h;gl[f(x0) + f(xn)2 ;+;sumi=1^n-1 f(xi)gr]
Aqui, x0=a, xn=b e xi=a+i,h. A ideia é bem simples: em cada pedacinho [xi-1,xi] você aproxima f(x) por uma reta e calcula a área do trapézio.

Passo 3

Vamos aplicar para h=0,25.
  • Como a=0 e b=1, temos n=(1-0)/0,25=4.
  • Os pontos são x0=0, x1=0,25, x2=0,5, x3=0,75, x4=1,0.
  • Da tabela: f0=0,9162, f1=0,8109, f2=0,6931, f3=0,5596, f4=0,4055.
Substituindo na fórmula:
T4 = 0,25;gl[0,9162 + 0,40552 + (0,8109 + 0,6931 + 0,5596)gr]
Calculemos passo a passo:
  1. dfrac0,9162 + 0,40552 = 0,66085
  2. Soma dos interiores =0,8109+0,6931+0,5596 = 2,0636
  3. Soma total no colchete =0,66085 + 2,0636 = 2,72445
  4. Multiplica por h: T4 = 0,25 times 2,72445 = 0,68111,

Passo 4

Agora para h=0,5.
  • n=(1-0)/0,5=2.
  • Pontos: x0=0, x1=0,5, x2=1,0.
  • Valores: f0=0,9162, f1=0,6931, f2=0,4055.
Fórmula:
T2 = 0,5;gl[0,9162 + 0,40552 + 0,6931gr]
Passos:
  1. dfrac0,9162+0,40552=0,66085
  2. Soma total =0,66085 + 0,6931=1,35395
  3. T2 = 0,5 times 1,35395 = 0,676975,

Passo 5

Beleza, agora é só comparar:
  • Com h=0,25 a gente achou T4 approx 0,68111.
  • Com h=0,5 deu T2 approx 0,67698.
Note que, geralmente, quanto menor o passo h, mais precisa fica a aproximação, e a gente realmente viu um valor ligeiramente maior para h=0,25.

Resposta

Aproximações da integral integral0^1 f(x),dx:
  • Para h=0,25: T4 approx 0,68111.
  • Para h=0,5: T2 approx 0,67698.

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