Calcule a integral:
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede para calcular a integral dupla
Aqui o conteúdo é integrais duplas e técnicas de integração (substituição). Para resolver estamos precisando:
- Reconhecer que a função que estamos integrando não depende de
, então a gente pode separar as integrais. - Fazer a integral em
usando substituição para lidar com o .
Passo 2
Primeiro, note que
não depende de
. Numa integral dupla, se a integranda é decomposta como produto de função só de
e função só de
, podemos escrever
Aí fica fácil porque
.
Passo 3
Agora a integral em
:
Para resolver, usamos a substituição
Quando
,
.
Quando ,
.
Logo
Quando
Logo
Passo 4
Agora usamos a fórmula básica de integral de potência:
.
Então
Então