Calcule a integral:
integral2^3 integral0^1 x raiz1-x^2 d x d y.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para calcular a integral dupla
integral2^3 !!integral0^1 xraiz1 - x^2,dx,dy
Aqui o conteúdo é integrais duplas e técnicas de integração (substituição). Para resolver estamos precisando:
  1. Reconhecer que a função que estamos integrando não depende de , então a gente pode separar as integrais.
  2. Fazer a integral em usando substituição para lidar com o .

Passo 2

Primeiro, note que
f(x,y) = xraiz1 - x^2
não depende de integral2^3!!integral0^1 xraiz1 - x^2,dx,dy = l(integral2^3 dyr),l(integral0^1 xraiz1 - x^2,dxr) . Numa integral dupla, se a integranda é decomposta como produto de função só de e função só de , podemos escrever
Aí fica fácil porque .

Passo 3

Agora a integral em I = integral0^1 xraiz1 - x^2,dx :
u = 1 - x^2 Longrightarrow du = -2x,dx Longrightarrow x,dx = -tfrac12,du
Para resolver, usamos a substituição
I = integralx=0^1 xraiz1 - x^2,dx = integralu=1^0 raizu,l(-tfrac12,dur) = tfrac12integral0^1 u^1/2,du
Quando , .
Quando , .
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Passo 4

Agora usamos a fórmula básica de integral de potência:
tfrac12integral0^1 u^1/2,du = tfrac12l[tfracu^3/23/2r]0^1 = tfrac12cdottfrac23l(1^3/2 - 0r) = tfrac13 .
Então

Resposta

integral2^3!!integral0^1 xraiz1 - x^2,dx,dy = boxedtfrac13

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