Calcule a integral integral0^1 sen(x)x+1 d x corretamente até a quinta casa decimal, utilizando o método de Romberg.

Passo 1

Beleza, o problema pede para calcular a integral
até a quinta casa decimal usando o método de Romberg. Isso envolve:
  • aplicar a Regra do Trapézio básica (para a primeira aproximação),
  • refinar a malha (dividir o intervalo em mais subintervalos) e
  • fazer extrapolação de Richardson para acelerar a convergência.

Passo 2

Vamos criar a tabela de Romberg R(1,1) = h12l[f(0) + f(1)r] = 12(0 + 0.4207354924) = 0.2103677462 . Primeiro, a Regra do Trapézio com 1 subintervalo ( ):
  • .
  • , então
    e
    .
  • A regra do trapézio:

Passo 3

Agora dobraremos o número de subintervalos ( R(2,1) = tfrac12,R(1,1) + h2sumnovos xk f(xk) = tfrac12cdot0.2103677462 + 0.5,f(0.5), , R(2,1)approx 0.1051838731 + 0.1598085130 = 0.2649923861 , R(2,2) = R(2,1) + R(2,1)-R(1,1)4^1-1 = 0.2649923861 + 0.2649923861 - 0.21036774623 = 0.2832005159 ):
  1. Calcula o trapézio refinado: onde .
    Logo
  2. Extrapolação de Richardson para :

Passo 4

Repetindo com R(3,1)=tfrac12R(2,1)+0.25,(0.197922+0.389508) =0.1324961930 + 0.1468575 = 0.2793536930 , R(3,2)=R(3,1)+R(3,1)-R(2,1)4-1=0.2841409568, , R(3,3)=R(3,2)+R(3,2)-R(2,2)4^2-1 =0.2842035293 . Novos pontos em :
  • ,
  • .
  1. Trapézio refinado
  2. Extrapolações:

Passo 5

Com R(4,1)=tfrac12R(3,1)+0.125cdot1.146409 =0.2829779 , R(4,2)=0.2841860, R(4,3)=0.2841890, R(4,4)=0.2841888 , . Novos pontos em
com
(soma ).
  1. Trapézio refinado
  2. Extrapolações:

Passo 6

Agora R(5,1)=tfrac12R(4,1)+0.0625cdot2.278413 =0.2838898 , R(5,2)=0.2841931, R(5,3)=0.2841936, R(5,4)=0.2841937, R(5,5)=0.2841937 , . Novos 8 pontos em
, soma dos .
  1. Trapézio refinado
  2. Extrapolações sucessivas:

Passo 7

A tabela de Romberg já se estabilizou em
R(5,5)approx0.2841937
Para garantir a quinta casa decimal certa, o valor não muda a partir daqui.

Resposta

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