Calcule a integral
corretamente até a quinta casa decimal, utilizando o método de Romberg.
Passo 1
Beleza, o problema pede para calcular a integral
até a quinta casa decimal usando o método de Romberg. Isso envolve:
- aplicar a Regra do Trapézio básica (para a primeira aproximação),
- refinar a malha (dividir o intervalo em mais subintervalos) e
- fazer extrapolação de Richardson para acelerar a convergência.
Passo 2
Vamos criar a tabela de Romberg
. Primeiro, a Regra do Trapézio com 1 subintervalo (
):
-
. - , então
e
. - A regra do trapézio:
Passo 3
Agora dobraremos o número de subintervalos (
,
,
):
- Calcula o trapézio refinado:
onde .
Logo - Extrapolação de Richardson para
:
Passo 4
Repetindo com
,
,
. Novos pontos em
:
- ,
- .
- Trapézio refinado
- Extrapolações:
Passo 5
Com
,
,
. Novos pontos em
com
(soma
).
- Trapézio refinado
- Extrapolações:
Passo 6
Agora
,
,
. Novos 8 pontos em
, soma dos
.
- Trapézio refinado
- Extrapolações sucessivas:
Passo 7
A tabela de Romberg já se estabilizou em
Para garantir a quinta casa decimal certa, o valor não muda a partir daqui.